は
の倍数であることを示せ。
ならば
であることを示せ。
が素数となる正の整数nをすべて求めよ。
･･･①
が2以上の公約数mを持つとします。p，qを
となる自然数として、
，
に限られ、
に反するので、nと
は互いに素です。
は
の倍数です。
のとき、
，
，･･･，
より、
，
，
，
，
，
･･･②
では、2整数の積の形になってしまうので、素数になりそうもない、ということがわかります。
まで見ていくと、
が、偶数と奇数の積になりそうなのですが、
で、
の中で、できる限り約分して考えることにします。nが偶数のときと、奇数のときで、分母・分子の数の並び方に違いがあるので、場合分けします。また、(1)より、
は
の倍数なので、
は整数です。
のとき、
から
までのk個の数については、その2倍が分子にいます。これを約分すると
が残ります。
も約分し、約分した残りは、
･･･③
を除くと、分母分子は
個の数の積になっています。分子に並ぶ数は全て
より大きく、分母に並ぶ数はk以下なので、分子に並ぶ奇数の中に素数があった場合、分母の中に約分できる数はありません。
の素因数分解の中に複数個の素数の積が出てきます。よって、
は素数ではありません。
で、
，
，･･･，
(
)より、
は整数なので、これは、
がpと2以上の整数との積になることを意味し、
は素数ではありません。
となり、
は素数ではありません。
のときも同様に約分すると、
･･･④
を除くと、分母分子はk個の数の積になっています。nが偶数の場合と同様に、④の分子の中に素数が複数個あれば、分母と約分できないので、
の素因数分解の中にそのまま残り、
は素数になりません。④の分子の中に素数が1個、あるいは素数がない場合、その素数か、分子を素因数分解したときに現れる最大の素数をpとして、
(
)となるので、
は素数ではありません。
のとき、
は素数になりません。
が素数となる正の整数は、
......[答]
を複数の2以上の整数の積の形に表す、と言う方針でも解答できます。
と
の最大公約数をk，
と
が互いに素なら
とします。p，qを互いに素な自然数として、
，
･･･⑤
は
の倍数なので、
は整数です。同様に
も整数ですが、
はqで割り切れます。割り切れなければ
は整数にならないからです。
なので
より
です。また、(2)より、
において
，
において
，⑤より、
，よって、
となり
は1より大きな整数です。
において、
が、1より大きい2個の整数p，
の積の形にかけるので、
は素数になりません。
が素数となる正の整数は、
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