東工大数学
'21
年前期
[3]
以下の問いに答えよ。
(1)
正の整数
n
に対して、二項係数に関する次の等式を示せ。
また、これを用いて
は
の倍数であることを示せ。
(2)
正の整数
n
に対して、
とおく。このとき、
ならば
であることを示せ。
(3)
が素数となる正の整数
n
をすべて求めよ。
解答
(1)
,
(2)
は問題ないと思いますが、
(3)
が一苦労です。ここでは腕尽くで行ってみます。
(1)
よって、
・・・@
n
と
が
2
以上の公約数
m
を持つとします。
p
,
q
を
となる自然数として、
,
とおけます。辺々引くと、
に限られ、
に反するので、
n
と
は互いに素です。
この事実と@により、
は
の倍数です。
(2)
のとき、
,
,・・・,
より、
(3)
,
,
,
,
,
・・・A
とやっていくと、
では、
2
整数の積の形になってしまうので、素数になりそうもない、ということがわかります。
まで見ていくと、
が、偶数と奇数の積になりそうなのですが、
で、
となり破綻します。そこで、まず、
の中で、できる限り約分して考えることにします。
n
が偶数のときと、奇数のときで、分母・分子の数の並び方に違いがあるので、場合分けします。また、
(1)
より、
は
の倍数なので、
は整数です。
・
k
を
2
以上の自然数として、
のとき、
分母の
から
までの
k
個の数については、その
2
倍が分子にいます。これを約分すると
が残ります。
も約分し、約分した残りは、
・・・B
分子の
を除くと、分母分子は
個の数の積になっています。分子に並ぶ数は全て
より大きく、分母に並ぶ数は
k
以下なので、分子に並ぶ奇数の中に素数があった場合、分母の中に約分できる数はありません。
Bの分子の中に複数個の素数がある場合には、それらの素数は分母と約されることはないので、
の素因数分解の中に複数個の素数の積が出てきます。よって、
は素数ではありません。
Bの分子の中に素数が
1
個しかない場合、それを
p
とすると、
で、
,
,・・・,
となるので、
(
)
より、
は整数なので、これは、
が
p
と
2
以上の整数との積になることを意味し、
は素数ではありません。
Bの分子の中に素数がない場合は、Bの分子を素因数分解して出てくる素数の最大のものを
p
とすれば、上記と同様に、
となり、
は素数ではありません。
・
k
を
2
以上の自然数として、
のときも同様に約分すると、
・・・C
分子の
を除くと、分母分子は
k
個の数の積になっています。
n
が偶数の場合と同様に、Cの分子の中に素数が複数個あれば、分母と約分できないので、
の素因数分解の中にそのまま残り、
は素数になりません。Cの分子の中に素数が
1
個、あるいは素数がない場合、その素数か、分子を素因数分解したときに現れる最大の素数を
p
として、
(
)
となるので、
は素数ではありません。
以上より、
のとき、
は素数になりません。
Aより、
が素数となる正の整数は、
......[
答
]
別解.漸化式を利用して、
を複数の
2
以上の整数の積の形に表す、と言う方針でも解答できます。
n
を
5
以上の整数として、
と
の最大公約数を
k
,
と
が互いに素なら
とします。
p
,
q
を互いに素な自然数として、
,
・・・D
とおけます。これより、
(1)
より、
は
の倍数なので、
は整数です。同様に
も整数ですが、
は
q
で割り切れます。割り切れなければ
は整数にならないからです。
なので
より
です。また、
(2)
より、
において
,
において
,Dより、
,よって、
となり
は
1
より大きな整数です。
において、
が、
1
より大きい
2
個の整数
p
,
の積の形にかけるので、
は素数になりません。
よって、Aより
が素数となる正の整数は、
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