東工大数学'21年前期[3]

以下の問いに答えよ。
(1) 正の整数nに対して、二項係数に関する次の等式を示せ。
また、これを用いての倍数であることを示せ。
(2) 正の整数nに対して、
とおく。このとき、ならばであることを示せ。
(3) が素数となる正の整数nをすべて求めよ。

解答 (1)(2)は問題ないと思いますが、(3)が一苦労です。ここでは腕尽くで行ってみます。

(1)
よって、 ・・・@
n2以上の公約数mを持つとします。pqとなる自然数として、
とおけます。辺々引くと、
に限られ、に反するので、nは互いに素です。
この事実と@により、の倍数です。
(2) のとき、
,・・・,より、
(3)

 ・・・A
とやっていくと、では、2整数の積の形になってしまうので、素数になりそうもない、ということがわかります。
まで見ていくと、が、偶数と奇数の積になりそうなのですが、で、
となり破綻します。そこで、まず、の中で、できる限り約分して考えることにします。nが偶数のときと、奇数のときで、分母・分子の数の並び方に違いがあるので、場合分けします。また、(1)より、の倍数なので、は整数です。
k2以上の自然数として、のとき、
分母のからまでのk個の数については、その2倍が分子にいます。これを約分するとが残ります。も約分し、約分した残りは、
 ・・・B
分子のを除くと、分母分子は個の数の積になっています。分子に並ぶ数は全てより大きく、分母に並ぶ数はk以下なので、分子に並ぶ奇数の中に素数があった場合、分母の中に約分できる数はありません。
Bの分子の中に複数個の素数がある場合には、それらの素数は分母と約されることはないので、の素因数分解の中に複数個の素数の積が出てきます。よって、は素数ではありません。
Bの分子の中に素数が
1個しかない場合、それをpとすると、で、
,・・・,
となるので、 ()より、
は整数なので、これは、
p2以上の整数との積になることを意味し、は素数ではありません。
Bの分子の中に素数がない場合は、Bの分子を素因数分解して出てくる素数の最大のものを
pとすれば、上記と同様に、となり、は素数ではありません。
k2以上の自然数として、のときも同様に約分すると、

 ・・・C
分子のを除くと、分母分子はk個の数の積になっています。nが偶数の場合と同様に、Cの分子の中に素数が複数個あれば、分母と約分できないので、の素因数分解の中にそのまま残り、は素数になりません。Cの分子の中に素数が1個、あるいは素数がない場合、その素数か、分子を素因数分解したときに現れる最大の素数をpとして、 ()となるので、は素数ではありません。
以上より、のとき、は素数になりません。
Aより、が素数となる正の整数は、
......[]
別解.漸化式を利用して、を複数の2以上の整数の積の形に表す、と言う方針でも解答できます。
n5以上の整数として、
の最大公約数をkが互いに素ならとします。pqを互いに素な自然数として、
 ・・・D
とおけます。これより、
(1)より、の倍数なので、は整数です。同様にも整数ですが、qで割り切れます。割り切れなければは整数にならないからです。なのでよりです。また、(2)より、においてにおいて,Dより、,よって、となり1より大きな整数です。
において、が、
1より大きい2個の整数pの積の形にかけるので、は素数になりません。
よって、Aよりが素数となる正の整数は、



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