東大理系数学'20年前期[1]

abcpを実数とする。不等式


をすべて満たす実数xの集合と、を満たす実数xの集合が一致しているとする。
(1) abcはすべて0以上であることを示せ。
(2) abcのうち少なくとも1個は0であることを示せ。
(3) であることを示せ。

解答 問題文に、「すべて0以上」、「少なくとも1個」というような言葉が出てくるので、背理法で証明します(証明の技巧を参照)。解答を書きやすくするために、とします。また、方程式の判別式:,解を (ともに実数のときにはとする),方程式の判別式:,解を (ともに実数のときにはとする),方程式の判別式:,解を (ともに実数のときにはとする)とします。
条件:
()とします。

(1) abcのうちどれか一つ、例えばa (bcでも同様です)だと仮定します(のグラフは右図のような上に凸な放物線。2次方程式の一般論を参照)
のとき、
かつとなるqについて、となるので、とはなり得ず、()は成立しません。
のとき、,よって、
なので、とはなり得ず、()は成立しません。
以上より、abcのうちどれか一つが負だと仮定すると()が成立せず、仮定は誤りで、abcはすべて0以上です。

(2) (1)を考慮して、abcがすべて正だと仮定します(のグラフは右図のような下に凸な放物線。2次方程式の一般論を参照)
のとき、 ・・・@
のとき、 ・・・A
のとき、 ・・・B
のとき、 ・・・C
のとき、 ・・・D
のとき、 ・・・E
の中に実数があれば(@またはBまたはDのとき)、そのどれよりも小さく、かつ、となるq
あるいは、の中に実数がなければ
(AかつCかつEのとき)となるq
について、
となるので、とはなり得ず、
()は成立しません。
よって、
abcがすべて正だと仮定すると()が成立せず、仮定は誤りで、(1)を考慮して、abcのうち少なくとも1個は0です。

(3) (2)より、abcのうち少なくとも1個は0なので、例えば (の場合、の場合も同様です)とします。
(i) のとき、などよりとなりますが、これは成り立たないので、となり、なので、で、()は成立しません。
(ii) かつのとき、より、
かつも同様です。
(iii) かつのとき、
よって、より、
以上より、
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