東大理系数学'20年前期[2]

平面上の点PQRが同一直線上にないとき、それらを3頂点とする三角形の面積をで表す。また、PQRが同一直線上にあるときは、とする。
ABCを平面上の3点とし、とする。この平面上の点X
を満たしながら動くとき、Xの動きうる範囲の面積を求めよ。

解答 難問のように見えますが、やってみると、高校の入試問題か、という雰囲気です。

問題文の条件は、

 ・・・()
まず、Xが三角形ABCの内部、または周上の点だとする(右図)と、
このとき、Xは条件を満たしません。Xは三角形ABCの外部の点、ということになりますが、面積を考えると、Xが辺ABに関して三角形ABCと反対側、Xが辺BCに関して三角形ABCと反対側、Xが辺CAに関して三角形と反対側、などで、考え方を変えなければいけないので、場合分けの仕方が見えてきます。
右図のように、各辺を延長した
3本の直線により、平面を7つの領域@,A,B,C,D,E,Fに分けます。直線上の点は隣接する領域に含めて考えます。前述のように、Xが領域@にあるときは、Xは条件を満たしません。
(i) Xが領域Aにあるとき(右図)Xが、直線BC上、直線CA上にあるときを含めて、直線XCと直線ABとの交点をD (DAと一致するときはDBと一致するときはDXと一致するときは)とします。右図より、
より、
()より、,つまり、 ・・・G
となるのは、右図のように、となるときで、このとき、直線
CA上でAについてCと反対側に、となるような点Iをとり、直線BC上でBについてCと反対側に、となるような点Jをとると、Xは線分IJ(両端を含む)にあります。
となるのは、右図のように、となるときで、このとき、直線
CA上でAについてCと反対側に、となるような点Pをとり、直線BC上でBについてCと反対側に、となるような点Qをとると、Xは線分PQ(両端を含む)にあります。
Xが領域Aにあるときには、Gとなるのは、となるときで、Xは台形IJQPの内部または周上にあります(右図黄色着色部および境界線上)
(ii) Xが領域Bにあるとき(右図)、直線XBと辺CAとの交点をE (ECあるいはAと一致することもあります)とします。右図より、
より、
()より、,つまり、 ・・・H
となるのは、右図のように、となるときで、このとき、直線
AB上でBについてAと反対側に、となるような点Kをとると、Xは線分JK(両端を含む)にあります。
となるのは、右図のように、となるときで、このとき、直線
AB上でBについてAと反対側に、となるような点Rをとると、Xは線分QR(両端を含む)にあります。
Xが領域Bにあるときには、Hとなるのは、となるときで、Xは台形JKRQの内部または周上にあります(右図黄色着色部および境界線上)
(iii) (i)(ii)と同様にして、Xが領域C,領域D,領域E,領域Fにあるときは、直線CA上でCについてAと反対側に、となるような点Lを、となるような点Sをとり、直線BC上でCについてBと反対側に、となるような点Mを、となるような点Tをとり、直線AB上で、AについてBと反対側に、となるような点Nを、となるような点Uをとると、Xは、台形KLSR、台形LMTS、台形MNUT、台形NIPUのそれぞれの内部または周上にあります。
以上を図示すると、Xは右図黄緑色着色部の内部または周上にあり、
より、
Xの動きうる範囲の面積は、台形IJQP、台形JKRQ、台形KLSR、台形LMTS、台形MNUT、台形NIPUを合わせて、
......[]



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