東大理系数学'20年前期[3]

を満たす実数tに対して

とする。座標平面上の点Pを考える。
(1) におけるtの関数は単調に減少することを示せ。
(2) 原点とPの距離をとする。におけるtの関数の増減を調べ、最大値を求めよ。
(3) tを動くときのPの軌跡をCとし、Cx軸で囲まれた領域をDとする。原点を中心としてDを時計回りに回転させるとき、Dが通過する領域の面積を求めよ。

解答 (1)は直線OPの傾きです。tから1まで変化するとき、直線OPの傾きが単調に減少する、ということは、直線OPは時計回りに回るだけ(逆回りには動かない)、と言っています。

(1) を平凡に微分する(商の微分法合成関数の微分法を参照)と、
実は、ここで困ることがあります。問題文では、となっているのに、において導関数が定義できないのです。範囲をとしてくれていればよいのに、出題者が少し意地悪をしています。
そこで、答案を書くときには、を使わずに、以下のように、違う視点から書く必要があります。
と書くと、の範囲では単調に増加するので、は単調に減少し、も単調に減少し、は単調に減少する。

(2)
陰関数の微分法で微分します。

,また、においてなので、における増減表は、
t

1
×0
0

増減表より、の最大値は、のとき、 ......[]
このとき、です。

(3) グラフの概形を確認しておきます。

増減表は、以下のようになります。
t

1


x0

0
y00
 
(1)(2)も考慮して、Cの概形は右図のようになります(媒介変数表示された関数のグラフを参照)
これを時計回りに回転すると、
Cの通過部分は、右図黄緑色着色部のようになります。
C上で原点から最も遠い点は、半径の円弧のを描いて、図の点に来ます。曲線Cの端点は図の点に来ます。黄緑色着色部のうち、線分,弧y軸で囲まれた部分は、線分,弧x軸に囲まれた部分と重なります。従って、求める面積Sは、曲線Cx軸で囲む面積と半径の円の面積のを合わせたものになります。よって、
により置換積分を行うと、xのとき、tより、
ここで、は半径1の円の面積のに等しくは、被積分関数が奇関数で0,よって、 .......[]



   東大理系数学TOP   数学TOP   TOPページに戻る

各問題の著作権は出題大学に属します。
©2005-2020
(有)りるらる
苦学楽学塾 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元