(
)
を満たす整数とする。n個の整数 ()
個の積の和を
とおく。例えば、
を求めよ。
と
をxについての整式として表せ。
をn，kで表せ。
，
，
のでき方を思い出せるかも知れませんが、一般の受験生では、いきなりこの問題を見せられても、何も見えず、どこから手を付ければよいかさえわからないかも知れません。こういうときは、n，kに数値を代入して、感覚をつかむところから始めます。
のとき、1個の整数、
から異なる1個を選んで積をとると、
個の積の和
は、
となります。後で、見通しをよくするために、
と書かないで、問題文の例の通り、
と書くようにします。問題文がヒントになっているのです。
のとき、
の2通りの可能性があります。2個の整数は、
として、
です。
のときは、2個から1個を選んで積をとると、
個の積の和
は、
(
)となります。
のときは、2個から2個を選んで積をとると、
個の積の和
は、
(
)となります(組み合わせを参照)。
のとき、k = 1，2，3の3通りの可能性があります。3個の整数は、
として、
です。
のとき、3個から1個を選んで積をとって和をとると、
(
)
のとき、3個から2個を選んで積をとって和をとると、
(
)
のとき、3個から3個を選んで積をとって和をとると、
(
)
のとき、4個の整数は、
です。
は問題文に出ていますが、
(
)，
(
)，
(
)，
(
)
個の積の和
から考えると、
個の積の和
は、
(等比数列を参照)
......[答]
，
，
，
がxの整式で表される、ということは、
は、
でも、
でも割り切れる、ということです。
は
で割り切れて、
より、
は
で割り切れて、
，
より、
を証明します。
(
)は、n個の整数
から異なるk個を選んで積をとり、k個の整数の選び方すべてに対してとった積(
個ある)の和です。つまり、
(
)は、
個の整数
から異なるk個を選んで積をとり、k個の整数の選び方すべてに対してとった積(
個ある)の和です。
･･･①
の係数は、
(
)の係数は、
から異なるk個を選んで積をとり、k個の整数の選び方すべてに対してとった積(
個ある)の和、と、
異なる
個を選んで積をとり、
個の整数の選び方すべてに対してとった積(
個ある)の各々に
をかけたのもの
個の整数
から異なるk個を選んで積をとり、k個の整数の選び方すべてに対してとった積(
個ある、
に注意)の和
･･･②
の係数は、
......[答] ･･･③
，③を繰り返して用いることにより、
，
......[答] ･･･④
の係数は、
･･･⑤
に代えると、
，よって、
，⑤に代入すると、
......[答]| 各問題の著作権は出題大学に属します。 ©2005-2020 (有)りるらる | 苦学楽学塾 随時入会受付中！ 理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、 まず、こちらまでメールをお送りください。 |
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