東大理系数学'20年前期[4]

nkを、を満たす整数とする。n個の整数
()
から異なるk個を選んでそれらの積をとる。k個の整数の選び方すべてに対しこのように積をとることにより得られる個の積の和をとおく。例えば、
である。
(1) 2以上の整数nに対し、を求めよ。
(2) 1以上の整数nに対し、xについての整式
を考える。xについての整式として表せ。
(3) nkで表せ。

解答 眼力ある受験生なら、基本対称式、例えば、のでき方を思い出せるかも知れませんが、一般の受験生では、いきなりこの問題を見せられても、何も見えず、どこから手を付ければよいかさえわからないかも知れません。こういうときは、nkに数値を代入して、感覚をつかむところから始めます。
まず、のとき、
1個の整数、から異なる1個を選んで積をとると、個の積の和は、となります。後で、見通しをよくするために、と書かないで、問題文の例の通り、と書くようにします。問題文がヒントになっているのです。
のとき、
2通りの可能性があります。2個の整数は、として、です。のときは、2個から1個を選んで積をとると、個の積の和は、 ()となります。のときは、2個から2個を選んで積をとると、個の積の和は、 ()となります(組み合わせを参照)
のとき、k = 1233通りの可能性があります。3個の整数は、として、です。
のとき、3個から1個を選んで積をとって和をとると、 ()
のとき、3個から2個を選んで積をとって和をとると、 ()
のとき、3個から3個を選んで積をとって和をとると、 ()
のとき、4個の整数は、です。は問題文に出ていますが、 () () () ()

(1) 上記で、個の積の和から考えると個の積の和は、
 (等比数列を参照)

......[]
nに数値代入すると、

(2) xの整式で表される、ということは、は、でも、でも割り切れる、ということです。

と、因数分解できるので、で割り切れて、
より、
で割り切れて、
さらに、

と、因数分解できるので、より、
これで、問題の背景が見えてきます。を証明します。

()は、n個の整数から異なるk個を選んで積をとり、k個の整数の選び方すべてに対してとった積(個ある)の和です。つまり、
・・・・・・

()は、個の整数から異なるk個を選んで積をとり、k個の整数の選び方すべてに対してとった積(個ある)の和です。
 ・・・@
まず、xの係数は、
の係数は、

()の係数は、
つまり、n個の整数から異なるk個を選んで積をとり、k個の整数の選び方すべてに対してとった積(個ある)の和、と、
n個の整数から異なる個を選んで積をとり、個の整数の選び方すべてに対してとった積(個ある)の各々にをかけたのもの
との和になっていて、結局、
個の整数から異なる
k個を選んで積をとり、k個の整数の選び方すべてに対してとった積(個ある、に注意)の和
になっているので、
 ・・・A
の係数は、
これより、@は、
従って、
......[] ・・・B
,Bを繰り返して用いることにより、
よって、 ......[] ・・・C

(3) Cより、

の係数は、 ・・・D
Aで
kに代えると、,よって、,Dに代入すると、


......[]



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