東大理系数学'20年前期[5]
座標空間において、xy平面上の原点を中心とする半径1の円を考える。この円を底面とし、点
を頂点とする円錐(内部を含む)をSとする。また、点A
を考える。
(1) 点PがSの底面を動くとき、線分APが通過する部分をTとする。平面
によるSの切り口および、平面
によるTの切り口を同一平面上に図示せよ。 (2) 点PがSを動くとき、線分APが通過する部分の体積を求めよ。
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解答 直円錐Sを、底面の円に平行な平面
で切るときは、切り口は円で、円の半径は、相似比が2：1であることから、
になります。斜円錐についても、底面の円に平行な平面での切り口は円になる、ということなどを知っていれば、相似比を考えて要領よく解答できますが、ここではそうした知識なしで考えてみます。
(1) xy平面上で、原点を中心とする半径1の円周上の点Pの座標は、媒介変数θを用いて、P
と表せます。円錐の内部を考えるので、この円周から内部の点を考えることになります。 直線APは、点Aを通るので、線分AP上の点の座標は、
(
)平面
による切り口を考えるので、
とすると、
，よって、
，
平面
上の点をxy平面までz軸と平行に平行移動させ、θを消去すると、
，
より、 
これは、
を中心とする半径
の円周です。Sの平面
による切り口は、この円周から内側であって、原点を中心とする半径
の円となります。円錐の内部を含めるので、図示すると、右図黄緑色着色部。
(2) 点PがSを動くとき、線分APが通過する部分をDとします。直円錐Sをzx平面で切ると、右図のような断面ができますが、
側で境界となる稜線の方程式は、
･･･① です。直円錐Sを平面
(
)で切ると切り口は円になりますが、①で
として、
，
･･･②，これが切り口にできる円の半径になります。
この切り口の円周上に点Pをとると、その座標はP
となります。Sは円錐の内部を含めるので、この円周と円周から内部の点を考えることになります。直線APの方向ベクトルは、 直線APは、点Aを通るので、線分AP上の点の座標は、
(
)
，
線分APの通過する部分を考えるので、切断面
は、点Pの存在している平面から上にあります。つまり、
です。
の場合、または、
の場合は、Dを平面
で切った断面は、線分、もしくは、1点Aのみで、いずれも断面積は0です。
平面
上の点をxy平面までz軸と平行に平行移動させると、線分APと平面
との交点は、中心
，半径
の円を描きます。この半径は、点Pのz座標uには依存せず、②より直円錐Sを平面
で切ったときの断面の円の半径と同じです。ここでは、計算して確かめましたが、こうしたことを知識として持っている受験生は、上記の検討は不要です。
より、円の中心のx座標
は、cを固定し、uの関数とみて0からcまでuを動かすと、
から0まで単調に減少します(分数関数のグラフを参照)。
の範囲でuを動かすとき、円の中心が
から
まで動きながら、半径
の円が内部も含めて動くことになり、Dを平面
で切ったときの断面は右図黄緑色着色部になります。
この面積
は、2辺が
，
である長方形の面積と、半径
の円の面積の和となり、 
......[答]
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で切ると、
として、
(
ですが、この式で
なので、
としてOKです)
