東大理系数学'20年前期[5]

座標空間において、xy平面上の原点を中心とする半径1の円を考える。この円を底面とし、点を頂点とする円錐(内部を含む)Sとする。また、点Aを考える。
(1) PSの底面を動くとき、線分APが通過する部分をTとする。平面によるSの切り口および、平面によるTの切り口を同一平面上に図示せよ。
(2) PSを動くとき、線分APが通過する部分の体積を求めよ。

解答 直円錐Sを、底面の円に平行な平面で切るときは、切り口は円で、円の半径は、相似比が21であることから、になります。斜円錐についても、底面の円に平行な平面での切り口は円になる、ということなどを知っていれば、相似比を考えて要領よく解答できますが、ここではそうした知識なしで考えてみます。

(1) xy平面上で、原点を中心とする半径1の円上の点Pの座標は、媒介変数θを用いて、Pと表せます。円錐の内部を考えるので、この円内の点を考えることになります。
空間内で線分の通過範囲を考えるときには、直線のベクトル方程式を考えます。直線APの方向ベクトルは、
直線APは、点Aを通るので、線分AP上の点の座標は、
 ()
平面による切り口を考えるので、とすると、,よって、
平面上の点を
xy平面までz軸と平行に平行移動させ、θを消去すると、より、
 (円の方程式を参照)
これは、を中心とする半径の円です。Sの平面による切り口は、原点を中心とする半径の円となります。円錐の内部を含めるので、図示すると、右図黄緑色着色部。

(2) PSを動くとき、線分APが通過する部分をDとします。直円錐Szx平面で切ると、右図のような断面ができますが、側で境界となる稜線の方程式は、 ・・・@ です。
直円錐を平面 ()で切ると円になりますが、@でとして、 ・・・A,これが切り口の円の半径になります。
この切り口の円上に点
Pをとると、その座標はPとなります。円錐の内部を含めるので、この円と円内の点を考えることになります。直線APの方向ベクトルは、
直線APは、点Aを通るので、線分AP上の点の座標は、
 ()
線分APが通過する部分Dを平面で切ると、として、
線分APの通過する部分を考えるので、切断面は、点Pの存在している平面から上にあります。つまり、です。
の場合、または、の場合は、
Dを平面で切った断面は、線分、もしくは、1Aのみで、いずれも断面積は0です。
平面上の点を
xy平面までz軸と平行に平行移動させると、線分APと平面との交点は、中心,半径の円を描きます。この半径は、点Pz座標uには依存せず、Aより直円錐Sを平面で切ったときの断面の円の半径と同じです。ここでは、計算して確かめましたが、こうしたことを知識として持っている受験生は、上記の検討は不要です。
より、円の中心の
x座標は、cを固定し、uの関数とみて0からcまでuを動かすと、から0まで単調に減少します。
の範囲で
uを動かすとき、半径の円の中心がからまで、円周および円の内部も含めて動くことになり、Dを平面で切ったときの断面は右図黄緑色着色部になります。
この面積は、
2辺がの長方形の面積と、半径の円の面積の和となり、
 (ですが、この式でなので、としてOKです)
D体積Vは、
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