東大理系数学'24年前期[3]
座標平面上を次の規則(i)，(ii)に従って1秒ごとに動く点Pを考える。
(i) 最初に、Pは点
にいる。 (ii) ある時刻でPが点
にいるとき、その1秒後にはPは ・確率
でx軸に関して
と対称な点 ・確率
でy軸に関して
と対称な点 にいる。
以下の問いに答えよ。ただし、(1)については、結論のみを書けばよい。
(1) Pがとりうる点の座標をすべて求めよ。
(2) nを正の整数とする。最初からn秒後にPが点
にいる確率と、最初からn秒後にPが
にいる確率は等しいことを示せ。 (3) nを正の整数とする。最初からn秒後にPが点
にいる確率を求めよ。
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解答 ヒントがあるので、何とかなります。
だけ注意が必要です。
(1) A
，B
，C
，D
，E
，F
，G
，H
とすると、AとBはx軸に関して対称、AとCはy軸に関して対称、AとDは
に関して対称、AとEは
に関して対称、BとFはy軸に関して対称、BとGは
に関して対称、BとHは
に関して対称です(座標平面における対称を参照)。元の点に対して、各対称移動での行先の点に関する以下の表より、 | 移動＼点 | A | B | C | D | E | F | G | H |
| x軸に関する対称移動 | B | A | F | H | G | C | E | D |
| y軸に関する対称移動 | C | F | A | G | H | B | D | E |
直線 に関する対称移動 | D | G | H | A | F | E | B | C |
直線 に関する対称移動 | E | H | G | F | A | D | C | B |
従って、問題文の対称移動によって、A，B，C，D，E，F，G，H以外の点に行くことはありません。
，
，
，
，
，
，
，
......[答]
(2) n秒後にA，B，C，D，E，F，G，Hにいる確率を
，
，
，
，
，
，
，
とします。
秒後にAに来るのは、n秒後(
)に、 Bにいて(確率
)、x軸に関する対称移動(確率
)で、Cにいて(確率
)、y軸に関する対称移動(確率
)で、Dにいて(確率
)、直線
に関する対称移動(確率
)で、Eにいて(確率
)、直線
に関する対称移動(確率
)で、Aにくる場合です。その確率
は、 
･･･①
秒後にFに来るのは、C→F(確率
)，B→F(確率
)，E→F(確率
)，D→F(確率
)の場合で、その確率
は、
･･･②①，②より、
従って、nを正整数として
，即ち、最初からn秒後にPが点
にいる確率と、最初からn秒後にPが
にいる確率は等しくなります。
(3) ①，②と同様にして、(1)の表より、
よって、nを正整数として
，BとCについては、
なので、
について
です。 よって、nを正整数として
，BとCについては、
なので、
について
です。 よって、nを正整数として
，BとCについては、
なので、
について
です。nを正の整数として、
，
，
，
これを用いて、上記漸化式を書き換えると、 
(
，
)なので、
，
です。また、
なので、
です。
ここで、先の方を調べておくと、となっていて、規則性があるのがわかります。これを見ると、AとGを組み合わせるとよさそうです。
の係数、
の係数が③と⑥で入れ替わっているので、連立漸化式の定石に従って、③＋⑥と③－⑥を考えます。
③＋⑥より、 
･･･⑦④＋⑤より、
･･･⑧⑦で
とすると、⑧より、 nを正の奇数として、
･･･⑨nを正の偶数として、
･･･⑩③－⑥より、
･･･⑪④－⑤より、
･･･⑫⑪で
とすると、⑫より、 nを正の奇数として、
･･･⑬nを正の偶数として、
･･･⑭nが正の奇数のとき、⑨，⑬より、
nが正の偶数のとき、⑩＋⑭より、
のとき
です。
以上より、最初からn秒後にPが点A
にいる確率は、
のとき1，nが正の奇数のとき0，nが正の偶数のとき
......[答]
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で直線
に関して
と対称な点
で直線
に関して
と対称な点
，
なので、
の場合は、
です。
･･･③
･･･④
･･･⑤
･･･⑥
，
，
，
，
，
，
