東大理系数学'24年前期[4]
とおく。
を満たす実数t に対し、座標平面上の点
を通り、この点において放物線
と共通の接線を持ち、x軸上に中心を持つ円を
とする。
(1) 円
の中心の座標を
，半径を
とおく。
と
をt の整式で表せ。 (2) 実数aは
を満たすとする。円
が点
を通るような実数t は
の範囲にいくつあるか。
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解答 面倒な計算問題です。
(1) 円 
：
･･･① 円
上の点
における接線は、 
のとき、接線の傾きは、
･･･②
のとき、
このとき、円
の中心はx軸上にあるので、接点がx軸上にある場合、接線はx軸に垂直になりますが、放物線の接線がx軸に垂直になることはありません。よって、
です。
を微分すると、
における放物線の接線の傾きは、
･･･③
円
と放物線
が
と共通の接線をもつので、②と③が一致します。∴ 
......[答] ･･･④また、接点
は円
上の点でもあるので、①を満たします。 ∴ 
④，⑤を用いて、
･･･⑥
，
，
，
，
増減表は以下
より
のグラフと
の交点を考える(微分法の方程式への応用を参照)ことにより、円
が点
を通るような実数t の個数は、
，即ち、
のとき、
の範囲に1個、
，即ち、
のとき
と
の範囲に1個で合わせて2個、
，即ち、
のとき
，
，
の範囲にそれぞれ1個で合わせて3個、よって、
のとき1個、
のとき2個、
のとき3個 ......[答]
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......[答] ･･･⑤
が
を通るので、①で
，
として、
