東大理系数学'24年前期[6]
2以上の整数で、1とそれ自身以外に正の約数を持たない数を素数という。以下の問いに答えよ。
(1) とする。が素数となるような整数nをすべて求めよ。 (2) a,bを整数の定数とし、とする。が素数となるような整数nの個数は3個以下であることを示せ。
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解答 が因数分解できてしまいますが、2つの数の積が素数になるとき、その2数は、1と素数、あるいは、と素数の符号を変えたものになります。手がかりのない(2)は、(1)の10をa,20をbに置き換えるとどうなるだろう、というところから考えていきます。
(1) ,が素数であるためには、(i) かつが素数(正の値)、または、(ii) かつが素数の符号を変えた数(負の値)、または、(iii) nが素数かつ、または、(iv) nが素数の符号を変えたものかつ 11は正整数なので、(ii)は不適です。
の解はであって整数ではないので(iii)は不適です。
の解は、,これは素数の符号を変えたものです。
は素数です。
は素数です。
は素数です。
よって、 ......[答]
(2) が素数となるのは、 (i) nが素数かつ (ii) nが素数の符号を変えたものかつ (iii) かつが素数 (iv) かつが素数の符号を変えたもの のいずれかの場合です。(i)のとき、より、 ・・・@ とします。2次方程式の解は2個しかないので、@を満たすnはα,β以外にはありません。α,βのいずれか一方だけが素数、例えばαだけが素数で、βが素数でないときは、は素数ですが、,は素数の可能性がありますが、は素数ではなく、が素数となるnは、の高々3個です。よって、α,βがともに素数で、,がともに素数だとします。@において、解と係数の関係より、 , よって、
は、ならは素数の可能性があります。 α,βは素数で正整数なので、では素数ではありません。よって、この場合、が素数となるnは、の高々3個です。
例えば、,のとき、 で、が素数となるnは、の3個あります。(ii)のとき、より、とおき、 ・・・A とします。ここで、γ,δをともに素数で、,がもに素数だとします。Aにおいて、解と係数の関係より、 , よって、
ならは素数の可能性があります。 なのでは素数ではありません。よって、この場合、が素数となるnは、の高々3個です。
例えば、,のとき、 で、が素数となるnは、の3個あります。
以上より、(i)または(ii)のとき、(iii)かつ(iv)となり得ないので、が素数となるnは3個以下です。 注. ・・・B かつ ・・・C を満たすa,bが存在すると仮定すると、B−Cより、 n,mがともに素数の場合、より、これは不合理で、BかつCを満たすa,bは存在しません。つまり、(i)かつ(ii)ということは起こりません。
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