東大文系数学'98年[4]
xyz空間に3点A
，B
，C
をとる。△ABCを1つの面とし、
の部分に含まれる正四面体ABCDをとる。さらに△ABDを1つの面とし、点Cと異なる点Eをもう1つの頂点とする正四面体ABDEをとる。
(1) 点Eの座標を求めよ。
(2) 正四面体ABDEの
の部分の体積を求めよ。
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解答 断面図が描けてしまえば、あとは一本道です。なお、空間ベクトルを参照してください。
(1) 原点をOとして、Oは辺ABの中点で、
より、正四面体ABCDは、△CODを含む平面、つまり、yz平面に関して対称です。また、同様に、正四面体ABDEも、yz平面に関して対称です。従って、D，Eはyz平面上の点です。これより、右図のような鳥瞰図と、yz平面で切ったときの断面図が書けるはずです。
△ABCの重心をGとすると、断面図において、DGは△ABCを含む平面、つまり、xy平面に垂直 ･･･(＊) で、Dのy座標はGのy座標に一致します。
よって、Dのy座標は
です。また、
と三平方の定理より、 これがDのz座標になります。
∴ 
ODとCEの交点をHとすると、
であって、Hは△ABDの重心です。
∴ 
Eは直線OD (あるいは△ABD)に関してCと対称なので、 よって、点Eの座標は、
......[答] 注．(＊)を示すのであれば、
よって、DGは△ABCを含む平面に垂直です。
(2) これも(1)の断面図を使って考えます。正四面体ABDEをzx平面で切ると、辺DEとz軸との交点をFとして、切り口は△ABFです。この△ABFを底面と見ると、高さはEのy座標の符号を変えたもの
となり、求める体積Vは、 で与えられます。Dのy座標を
と書くと、GD // OFより、DF：FE = 
：
= 
：
= 3：7∴ 
Fのz座標を
として、 ∴ 
......[答]
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