早大理工数学'03年[5]
放物線
のうち、
の部分をCとする。C上の点P
に対し、原点OからPまでのCの部分の長さをsで表す。xとyをsの関数とみなして
，
とおくとき、以下の問いに答えよ。
(1) 
の値を求めよ。 (2) 次の等式を示せ。
，
(3) PにおけるCの法線上にあり、Pとの距離が正の定数aである2点のうち、Cの下側にあるものをQ
とする。v，wを
，
，
，
を用いて表せ。 (4) Cの長さをLとし、PがC全体を動くときの、Qの描く曲線の長さをMとする。
を求めよ。ただし、
を用いてもよい。
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解答 曲線の長さは、現行学習指導要領の範囲外(「ゆとり教育」見直しにより復活することになっています)なのですが、本問では、結局最後まで、曲線の長さの積分を計算しないですんでしまうので、以下では、「曲線の長さ」を、
曲線
の
の部分の長さであれば、
媒介変数表示された曲線
，
の
の部分の長さであれば、
という定積分に読み替えてください。
放物線
の
の部分の長さsは、
より、
･･･①
注．①の定積分の計算は、京大理系'02年前期[4]、置換積分(その3)の例3を参照してください。本問では、結局最後まで計算しません。ただし、早大理工'98年[5]では、計算する必要のある問題が出題されています。
･･･③∴ 
......[答]
(2) 
ですが、②では
がxの式で表されているので、合成関数の微分法を利用して、
をまずxで微分し、
をかけることにします。 
(∵ ③)同様にして、
Pが原点の場合(
)を除いて、法線の傾きは、
(
，つまり、
)右図で直角三角形PQRについて、QR：PQ = 
：
と(1)の結果より、 
，
Q
はCの下側に来るので、 
，
......[答]Pが原点の場合(
)はQ
ですが、
，(1)の結果より
のとき
なので、この
でOKです。
(4) 曲線Cの長さLは、①の定積分の上端を1として、
･･･④(3)の結果をQの描く曲線の媒介変数表示と見て、
の部分の曲線の長さMは、 
･･･⑤(2)，(3)の結果を用いて、
(符号に注意)これらより、⑤の根号内は、
(∵ (1))よって、⑤は、
被積分関数がxの関数の形をしているので、sに関する積分をxに関する積分とするために、①を用いて置換積分します。
より、
，s：
のとき、x：
∴ 
......[答]
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･･･②
では
より、
の
