早大教育数学'09年[4]
正の整数nに対して、集合
の部分集合Mで条件
ならば
とするとき、
の取りうる最大値を
と表す。
次の問いに答えよ。
(1) nが4の倍数のとき、
が成り立つことを示せ。 (2) nが4の倍数のとき、
も成り立つことを示せ。 (3) 
を求めよ。
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解答 (1)，(2)は抽象的で考えづらい難問です。こうした問題は、
程度として具体的に考えるようにします。
集合
の部分集合Mで条件
ならば
･･･(＊)
は条件(＊)を満たします。
ですが
です。
同様に、
も条件(＊)を満たします。
のとき、Mは1個の要素をもつので、
です。
は条件(＊)を満たしません。
のとき
となってしまいます。
は条件(＊)を満たします。
ならば
，
ならば
となっています。
のとき
です。
も条件(＊)を満たします。このとき
です。
「
のとりうる最大値を
とする」というのは、
の場合、集合
の部分集合をいろいろと考えて、条件(＊)をみたす部分集合を作ったときに、もっとも要素数の大きなものを考える、ということです。条件(＊)をみたす部分集合Mの中に、1と2は同居せず、3と6は同居せず、というように考えて行くと、
のときの
が最大要素数の部分集合になります。であれば、
です。
となるMは、他にも、
，
などが考えられます。
そして、(1)の問題文は、
という不等式が成り立つことを示せ、と、言っているわけです。
というのは、集合
の部分集合の中で条件(＊)をみたすものを考え、それらの中の最大要素数です。1と2は同居できないので、
ということはあり得ません。条件(＊)を満たすのは、
，
で、
です。
なので、
は満たされています。
また、(2)の
も満たされています。
さて、(1)ですが、
のとき、
となる部分集合Mの中で、
に注目します。この集合は、
のときの
を与える部分集合
と、
を満たす要素xから成る部分集合
に分けることができます。
の要素数は6なので、
という不等式は、
のときに最大要素数を与える部分集合は、
のときに最大要素数を与える部分集合の要素と、
を満たす
個の要素をすべて含んでいる。
一般のnの場合を示すときには、
以下とそれ以外とに分けて示すことになります。
(1) 
とします。 nが4の倍数のとき
は正の整数で、集合
は、
の部分集合です。
の部分集合であって、条件(＊)を満たし
(
とおく)となる集合
の要素はm個ありますが、それを小さい順に、
，
，･･･，
とします。 
･･･①また、
，
，･･･，
･･･② です。
を満たす
個の要素xから成る集合
は、条件(＊)を満たします。つまり、
であれば、
です。
なぜなら、
より、
･･･③ となるからです。
ここで、
を考えます。
，
，･･･，
については、①より、
であって、②を合わせて考えると、
， 
，･･･，
また、
，
，･･･，nについては、③より、その2倍は
の要素ではありません。
従って、
のすべての要素
について、
であり、
は
の部分集合で条件(＊)を満たします。また、
より、 以上より、
の部分集合Mで条件(＊)を満たすものに対してMの要素の個数を
とするとき、
の取りうる最大値を
とすれば、
(2) (1)の
に対し、
は
の部分集合で条件(＊)を満たし
だとします。 つまり、
は条件(＊)を満たす
の部分集合の中で最大要素数の集合(必ずしも一通りではありません)だとします。
の要素の中で
以下の要素の個数をkとすると、
･･･④ です。
これを背理法で示します。仮に、
の要素の中で
以下のものが
個以上あるとして、そのうちのm個で集合
を作ったとします(
に入らない要素をbとします)。任意の
について、
でもあるので
ですが、であれば、
(
)であって、
は(1)の集合
の部分集合であって条件(＊)を満たすので、
，つまり、
は条件(＊)を満たす最大要素数の集合です。ところが、
かつ
かつ
となるbが存在し、
，従って
なので、
にbを付け加えてできる集合も
の部分集合であって条件(＊)を満たしてしまいます。これは、
が最大要素数の集合であることと矛盾します。よって、④が成り立ちます。
の要素の中で
以上の要素の個数をKとすると、
･･･⑤ です。
なぜなら、
は、
以上n以下の整数の中では、
を満たす奇数x (全部で
個あります)と、
を満たすy (
個あります)について、yか
(
)のいずれか1個(yと
は
の中で同居しません)の計
個，合わせて、
個以外の要素を持ち得ないからです。
④，⑤より、
(3) (1)，(2)より、nが4の倍数のとき、
です。
は4の倍数なので、･･････
のとき、集合
の部分集合で、条件(＊)を満たす集合であって、要素数最大のものは
で、
です。∴ 
......[答]
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(
は4の倍数)
，公比