早大理工数学'10年[5]
表の出る確率がp (
)，裏の出る確率が
の硬貨が1枚ある。nを自然数とする。この硬貨を
回投げたとき、表が
回以上出る確率を
とする。以下の問いに答えよ。
(1) 
，
を求めよ。 (2) 
となるpの範囲を求めよ。 (3) 
となるa，bをnを用いて表せ。ただしa，bはpを含まないとする。 (4) 
のとき、
を最大にするnを求めよ。
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解答 かつて確率の難問を出題していた早大理工の面目躍如、興味深い新傾向問題です。
(1) 
のとき、硬貨を2回投げて、表が2回以上出る確率
は、 
のとき、硬貨を4回投げて、表が3回以上出る確率
は、表が3回出る確率が
，表が4回出る確率が
，よって、
のとき、硬貨を6回投げて、表が4回以上出る確率
は、表が4回出る確率が
，表が5回出る確率が
，表が6回出る確率が
，よって、
......[答]
(2) (1)の結果を用いて、
･･･①
より、
......[答]
(3) 硬貨を
回投げたとき、表が
回以上出る確率
は、表が
回出る確率、表が
回出る確率、･･･、表が
回出る確率を加え合わせて、 と表せますが、これを一般的にpの整式で表すのは困難です。そこで、(1)の結果を使って予測してみます。
これより、
のとき、
，
です。
これだけでは、一般的なnについて予測するのは難しいですが、仮に無理をして
を、 として計算し、
より、
のとき、
，
と求めてみても、不可能というわけではありませんが、やはり予測するのは厳しいでしょう。仮に予測できたとして、数学的帰納法でどう示すか、ということも課題になります。
数学的帰納法の枠組みに乗せるためには、
の場合から
の場合へどうつなげるか、ということを考える必要があります。そのために
と
のつながりを考えてみます。
は硬貨を
回投げて
回以上表が出る(以下、これを「成功」と言うことにします)確率ですが、
回投げて
回以上表が出ると、
回投げても「成功」は約束されています。ということは、
から
を引くと、
のうちの
回以上表が出る確率
は消し合うことになります。ですが、
回投げて
回表が出た場合でも、続く2回のどちらか、あるいは、2回とも表が出れば
回投げて「成功」できます。さらに言えば、
回投げて「成功」できなかった場合でも、n回表が出ていれば、続く2回のどちらも表であれば、
回投げて「成功」できます。
ここで整理します。硬貨を
回投げて、表がn回出る事象を「事象A」，表が
回出る事象を「事象B」，表が
回以上出る事象を「事象C」とし、事象A，事象B，事象Cが起こる確率を
，
，
とすると、
硬貨を
回投げて成功するのは、事象B，事象Cが起きた場合で、その確率
について、 硬貨を
回投げて成功するのは、事象Aが起きてかつ続く2回のどちらも表が出た場合と、事象Bが起きてかつ続く2回のどちらか、あるいは、2回とも表が出る場合と、事象Cが起きた場合で、その確率
について、 これより、
･･･②ところで、事象Aが起こる確率
は、 事象Bが起こる確率
は、 ②に代入して、
これで、数学的帰納法を使うことなく、a，bが求められました。
，
......[答]
(4) 
のとき、
これより、
，即ち、
のとき、
，即ち、
のとき、
∴ 
よって、
を最大にするnは、
......[答]
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のとき、
となるので、カッコ内は
で割り切れます。
のとき、
，
です。
