早大理工数学'20[2]

放物線Cとする。C上を動く点をPとし、dを正の定数とする。点PにおいてCに接する半径dの円で、中心Qの座標を満たすものを考える。このとき、以下の問に答えよ。
(1) 放物線CPにおける接線の方程式を求めよ。
(2) 放物線CPにおける法線の方程式を求めよ。
(3) 中心Qy座標Ytを用いて表せ。
(4) Yの極小値を求めよ。

解答 (4)で状況が変わるので場合分けして対処します。

(1) C ・・・@
微分して、における接線の傾きはt Pにおける接線の方程式は、
......[]

(2) のとき、法線の傾きはPにおける法線の方程式は、
tをかけて整理すると、 ・・・A
のとき、法線は
y軸で、となりますが、Aでとすると、になるので、Aでの場合も含んでいます。よって、法線の方程式は、
 ......[]

(3) として(2)の結果を使ってXを消去するのではまとも過ぎて計算が大変、計算ミスを呼び込みそうです。なるべく2乗が出てこないようにするために、点と直線の距離の公式の利用を考えます。円の半径と接線は垂直なので、点Q(2)で求めた法線上の点であり、点Q(1)の接線:との距離はdです。よって、
 ・・・B
なので、点Qは、点Pから上側、つまり、下に凸な曲線Cから上側にありを満たすので、Bの絶対値記号内は、
なので、Bで絶対値記号を外して分母を払うと、
 ・・・C
QはA上の点なので、
Cに代入して、


 ......[] ()

(4) Ytで微分すると、
分子の右側のカッコ内は正です。分子の左側のカッコ内は、なので、の場合には0以上となり、場合分けが必要になります。
のとき、のときより、増減表は、下記のようになります。
t
0
0
Yd

増減表より、極小値は、のときd
のとき、とすると、 (このとき、)
のとき、より、増減表は、下記のようになります。
t

0

000+
Yd

増減表より、極小値は、のとき
以上より、極小値は、のときd (のとき)のとき(のとき) ......[]



   早大理工数学TOP   数学TOP   TOPページに戻る

各問題の著作権は出題大学に属します。
©2005-2020
(有)りるらる
苦学楽学塾 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元