早大理工数学'20年[2]
放物線
をCとする。C上を動く点をP
とし、dを正の定数とする。点PにおいてCに接する半径dの円で、中心Qの座標
が
を満たすものを考える。このとき、以下の問に答えよ。
(1) 放物線CのPにおける接線の方程式を求めよ。
(2) 放物線CのPにおける法線の方程式を求めよ。
(3) 中心Qのy座標Yをtを用いて表せ。
(4) Yの極小値を求めよ。
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解答 (4)は
，
で状況が変わるので場合分けして対処します。
(1) C：
･･･① 微分して、
，
における接線の傾きはt ，P
における接線の方程式は、 
，
......[答]
(2) 
のとき、法線の傾きは
，Pにおける法線の方程式は、 tをかけて整理すると、
･･･②
のとき、法線はy軸で、
となりますが、②で
とすると、
になるので、②で
の場合も含んでいます。よって、法線の方程式は、 
......[答]
(3) 
として(2)の結果を使ってXを消去するのではまとも過ぎて計算が大変、計算ミスを呼び込みそうです。なるべく2乗が出てこないようにするために、点と直線の距離の公式の利用を考えます。円の半径と接線は垂直なので、点Q
は(2)で求めた法線上の点であり、点Qと(1)の接線：
との距離はdです。よって、 
･･･③
なので、点Qは、点Pから上側、つまり、下に凸な曲線Cから上側にあり
を満たすので、③の絶対値記号内は、なので、③で絶対値記号を外して分母を払うと、
･･･④
分子の右側のカッコ内は正です。分子の左側のカッコ内は、
なので、
の場合には0以上となり、場合分けが必要になります。
・
のとき、
のとき
より、増減表は、下記のようになります。 増減表より、極小値は、
のときd 
のとき、
より、増減表は、下記のようになります。増減表より、極小値は、
のとき
以上より、極小値は、
のときd (
のとき)，
のとき
(
のとき) ......[答]
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は②上の点なので、
，
......[答] (
)
のとき、
とすると、
，
(このとき、
)
