早大理工数学'20[3]

曲線の部分とx軸上の線分のなす曲線をCとし、Cy軸のまわりに1回転してできる容器をVとする。ただし、で定義された正の関数とする。Vに毎秒一定量vの水を注ぐとする。t秒後のV内の水位をとするとき、以下の問に答えよ。
(1) 水位が一定の速さで上昇するとき、は定数関数であることを示せ。
(2) のとき、を求めよ。

解答 多分、 (最初に水はたまってない)として計算を進めて大丈夫だと思いますが、試験会場では試験監督に確認した方が良いと思います。

(1) y軸の回りの回転体なのでy軸に垂直に切った断面は半径xの円です。断面の円の面積は、y軸のまわりの回転体のの部分の体積(水の入っている部分の体積)は、t秒間に注がれた水量に等しく、
・・・@
両辺をtで微分すると、
として、 ()より、
水位が一定速さで上昇するときは定数で、は定数関数です。

(2) @でとして、



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