早大理工数学'20[4]

箱の中にa個の赤玉とb個の白玉を合わせて2020個入れる。ただし、とする。n人を一列に並べ、前から順に1, 2, ・・・, nと番号をつける。番号1の人から順に玉を1個取り出し、色を確認したら箱の中へ戻し最後尾に並び直す。これを赤玉が出るまで繰り返す。番号kの人が赤玉を引く確率を,また、とするとき、以下の問に答えよ。
(1) βを用いて表せ。
(2) に対して、を求めよ。
(3) に対してとし、
と定める。のとき、Eの値を最大にするようなabを求めよ。必要ならば、なる実数rに対してとなることを用いてよい。

解答 箱から玉を1個取り出して赤玉を引く確率はα,白玉を引く確率はβです。試験会場で、 ・・・@ を忘れてパニックにならないように。

(1) は、2人で箱から玉を取り出し番号1の人が赤玉を引く確率です。
1回目に番号1の人が赤玉を引く確率はαです。
2回目に番号1の人が赤玉を引く確率は、1回目に2人が白白と引いた後、2回目で番号1の人が赤玉を引く確率で、
3回目に番号1の人が赤玉を引く確率は、1回目、2回目に2人が白白白白と引いた後、3回目で番号1の人が赤玉を引く確率で、
以下、同様に、
m回目に番号1の人が赤玉を引く確率は、1回目、2回目、・・・、回目に2人が回白玉を引いた後、m回目で番号1の人が赤玉を引く確率で、
より、公比の無限等比級数は収束し、@を使って、
......[]

(2) n人いるときに、1回目に番号kの人が赤玉を引く確率は、番号1から番号の人が白玉を引き,番号kの人が赤玉を引く確率で、
2回目に番号kの人が赤玉を引く確率は、1回目のn人と2回目の番号1から番号の人が白を引き、番号kの人が赤玉を引く確率で、
m回目に番号kの人が赤玉を引く確率は、1回目から回目までの回白玉を引いた後、m回目で番号kの人が赤玉を引く確率で、
より、公比の無限等比級数は収束し、
 ・・・A
同様にして、
よって、 ......[]

(3) Aを用いて、より、
とおくと、
ここでとすると、,問題文の指示より、
よって、
より、よって、
(等号はのとき)
以上より、Eを最大にするabは、 ......[]



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