早大理工数学
'20
年
[4]
箱の中に
a
個の赤玉と
b
個の白玉を合わせて
2020
個入れる。ただし、
,
とする。
n
人を一列に並べ、前から順に
1, 2,
・・・
,
n
と番号をつける。番号
1
の人から順に玉を
1
個取り出し、色を確認したら箱の中へ戻し最後尾に並び直す。これを赤玉が出るまで繰り返す。番号
k
の人が赤玉を引く確率を
,また、
,
とするとき、以下の問に答えよ。
(1)
を
β
を用いて表せ。
(2)
各
に対して、
を求めよ。
(3)
各
に対して
とし、
と定める。
のとき、
E
の値を最大にするような
a
,
b
を求めよ。必要ならば、
なる実数
r
に対して
となることを用いてよい。
解答
箱から玉を
1
個取り出して赤玉を引く確率は
α
,白玉を引く確率は
β
です。試験会場で、
・・・@ を忘れてパニックにならないように。
(1)
は、
2
人で箱から玉を取り出し番号
1
の人が赤玉を引く確率です。
1
回目に番号
1
の人が赤玉を引く確率は
α
です。
2
回目に番号
1
の人が赤玉を引く確率は、
1
回目に
2
人が白白と引いた後、
2
回目で番号
1
の人が赤玉を引く確率で、
3
回目に番号
1
の人が赤玉を引く確率は、
1
回目、
2
回目に
2
人が白白白白と引いた後、
3
回目で番号
1
の人が赤玉を引く確率で、
以下、同様に、
m
回目に番号
1
の人が赤玉を引く確率は、
1
回目、
2
回目、・・・、
回目に
2
人が
回白玉を引いた後、
m
回目で番号
1
の人が赤玉を引く確率で、
より、公比
の無限等比級数は収束し、@を使って、
......[
答
]
(2)
n
人いるときに、
1
回目に番号
k
の人が赤玉を引く確率は、番号
1
から番号
の人が白玉を引き,番号
k
の人が赤玉を引く確率で、
2
回目に番号
k
の人が赤玉を引く確率は、
1
回目の
n
人と
2
回目の番号
1
から番号
の人が白を引き、番号
k
の人が赤玉を引く確率で、
m
回目に番号
k
の人が赤玉を引く確率は、
1
回目から
回目までの
回白玉を引いた後、
m
回目で番号
k
の人が赤玉を引く確率で、
より、公比
の無限等比級数は収束し、
・・・A
同様にして、
よって、
......[
答
]
(3)
Aを用いて、
より、
とおくと、
ここで
とすると、
,問題文の指示より、
よって、
より、
よって、
(
等号は
のとき
)
以上より、
E
を最大にする
a
,
b
は、
......[
答
]
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