早大理工数学
'20
年
[5]
以下の問に答えよ。
(1)
関数
のグラフと関数
のグラフを一つの座標平面上に描け。
(2)
連立不等式
,
,
,
の表す領域を
D
とする。このとき、
D
を図示せよ。
(3)
領域
D
の面積を求めよ。
(4)
領域
D
を
x
軸のまわりに
1
回転してできる回転体の体積を求めよ。
解答
(3)(4)
は出題ミスで解答不能、とのことです。
(1)
・・・@ のグラフは、
では
,
では
・・・A のグラフは、
では
(
)
,
では
(
)
これらをまとめて図示すると、右図太線部分。
のグラフと
のグラフを抜き出すと、右図太線。
(2)
・・・B のグラフは、
では@の
,
では
(
@の
のグラフを
x
軸に関して対称移動させたもの
)
のグラフは、Bの
のグラフを
x
軸負方向に
だけ平行移動したものです。
・・・C のグラフは、
ではAの
,
では
(
Aの
のグラフを
y
軸に関して対称移動させたもの
)
のグラフは、Cの
のグラフを
y
軸負方向に
2
だけ平行移動したものです。
・連立不等式
,
・・・D の現す領域は、
かつ
となる領域で、図示すると、右図水色着色部。
・連立不等式
,
・・・E の表す領域は、
かつ
となる領域で、図示すると、右図黄色着色部。
DかつEの領域
D
は、Dの領域とEの領域の重なっている部分で、図示すると、右図黄緑色着色部
(
境界線含む
)
。
(3)(4)
問題文のままだと、無限大と解答するか、解なし、とするかですが、
D
を表す連立不等式が、
,
,
,
だったとして考えてみます。
かつ
かつ
かつ
より、このときの領域
D
は、右図黄緑色着色部
(
境界線含む
)
になります。
このときの領域
D
の第
1
象限の部分の境界線は、
において
,
において
(
)
領域
D
の第
1
象限の部分の面積は、直線
に関する対称性より、曲線
と
x
軸に挟まれた部分のうちの
の部分の面積から、図の△
OAB
の面積を引いて
2
倍したもので、
求める面積はこの
4
倍で、
......[
答
]
領域
D
を
x
軸のまわりに
1
回転してできる回転体の体積は、
y
軸に関する対称性より、
......[
答
]
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