早大理工数学
'21
年
[1]
xy
平面上の曲線
を
C
とする。
C
上の
2
点
A
,
B
をとる。さらに、
C
上で原点
O
と
B
の間に動点
P
(
)
をとる。このとき、以下の問に答えよ。
(1)
直線
AP
と
x
軸のなす角を
α
とし、直線
PB
と
x
軸のなす角を
β
とするとき、
,
を
t
を用いて表せ。ただし、
,
とする。
(2)
を
t
を用いて表せ。
(3)
を最小にする
t
の値を求めよ。
解答
微分の計算問題ですが、
がどの角なのか注意しましょう。
(1)
点
A
,点
P
を結ぶ直線
AP
の傾き
は、
......[
答
]
点
P
,点
B
を結ぶ直線
PB
の傾き
は、
......[
答
]
(2)
点
A
を通り
x
軸と平行な直線と直線
PB
との交点を
Q
とすると、
は、△
APQ
の内角
の外角で、
,正接は周期
π
の周期関数なので、
ここで、点
Q
の
x
座標は
よりも大きいので、直線
PB
の傾きは直線
AB
の傾き
1
よりも大きく、
B
における
C
の接線の傾き
3 (
,
のとき
)
よりも小さくなります。つまり、
曲線
C
は
において下に凸
(
において、
)
なので、直線
AP
の傾きは直線
AB
の傾き
1
よりも小さく、
よって、
となり、
,つまり、
において、
です。
......[
答
]
(3)
(
)
とおくと、
とすると、
においては、
t
0
1
−
0
+
が最小のとき
も最小で、増減表より、
を最小にする
t
は、
......[
答
]
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