早大理工数学'21[1]

xy平面上の曲線Cとする。C上の2ABをとる。さらに、C上で原点OBの間に動点P ()をとる。このとき、以下の問に答えよ。
(1) 直線APx軸のなす角をαとし、直線PBx軸のなす角をβとするとき、tを用いて表せ。ただし、とする。
(2) tを用いて表せ。
(3) を最小にするtの値を求めよ。

解答 微分の計算問題ですが、がどの角なのか注意しましょう。

(1) A,点Pを結ぶ直線APの傾きは、
......[]
P,点Bを結ぶ直線PBの傾きは、
......[]
(2) Aを通りx軸と平行な直線と直線PBとの交点をQとすると、は、△APQの内角の外角で、,正接は周期πの周期関数なので、
ここで、点Qx座標はよりも大きいので、直線PBの傾きは直線ABの傾き1よりも大きく、BにおけるCの接線の傾き3 (のとき)よりも小さくなります。つまり、
曲線
Cにおいて下に凸(において、)なので、直線APの傾きは直線ABの傾き1よりも小さく、
よって、となり、,つまり、において、です。
......[]
(3) ()とおくと、
とすると、においては、

t0

1

0



が最小のときも最小で、増減表より、を最小にするtは、 ......[]



   早大理工数学TOP   数学TOP   TOPページに戻る

各問題の著作権は出題大学に属します。
©2005-2021
(有)りるらる
苦学楽学塾 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元