早大理工数学'21年[1]
xy平面上の曲線をCとする。C上の2点A，Bをとる。さらに、C上で原点OとBの間に動点P ()をとる。このとき、以下の問に答えよ。
(1) 直線APとx軸のなす角をαとし、直線PBとx軸のなす角をβとするとき、，をtを用いて表せ。ただし、，とする。
(2) をtを用いて表せ。
(3) を最小にするtの値を求めよ。
解答　微分の計算問題ですが、がどの角なのか注意しましょう。

(1) 点A，点Pを結ぶ直線APの傾きは、
......[答]
点P，点Bを結ぶ直線PBの傾きは、
......[答]
(2) 点Aを通りx軸と平行な直線と直線PBとの交点をQとすると、は、△APQの内角の外角で、，正接は周期πの周期関数なので、
ここで、点Qのx座標はよりも大きいので、直線PBの傾きは直線ABの傾き1よりも大きく、BにおけるCの接線の傾き3 (，のとき)よりも小さくなります。つまり、
曲線Cはにおいて下に凸(において、)なので、直線APの傾きは直線ABの傾き1よりも小さく、
よって、となり、，つまり、において、です。
......[答]
(3) ()とおくと、
とすると、においては、

t0

1

−0＋



が最小のときも最小で、増減表より、を最小にするtは、 ......[答]


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