早大理工数学
'21
年
[2]
整式
について、以下の問に答えよ。
(1)
を
で割ったときの余りを求めよ。
(2)
を
で割ったときの余りを求めよ。
(3)
自然数
n
が
3
の倍数であるとき、
が
で割り切れることを示せ。
解答
だとすると、
となりますが、
をかけて
となるので、
を
で割った余りは
,
なので、
より
を
で割って余りは
,
(
m
は自然数
)
とおいて、
より、
は
で割り切れる、ということなのですが、ここでは、
因数定理
を用いて解答を書いてみます。
(1) 4
次方程式
の
4
解を
(
)
とします。
は、
を満たします。これより、
が成り立ちます。
をかけて、
・・・@,つまり、
そこで、
とすると、
よって、
(
)
は、
の解で、
は
(
)
で割り切れます。つまり、
は
で割り切れます。よって、
を整式として、
を
で割ったときの余りは
......[
答
]
注.
は、
(
複合任意
)
です。
[
別解
]
より、
を
で割った余りは
とすることもできます。いきなり割り算を実行して、
として余りを求めることもできます。
(2)
@より、
などを用いて、
(
)
そこで、
とおくと、
よって、
(
)
は、
の解で、
は
(
)
で割り切れます。つまり、
は
で割り切れます。よって、
を整式として、
を
で割ったときの余りは、
......[
答
]
(3)
とおくと、
(
m
は自然数
)
として、@より、
(
)
よって、
(
)
は、
の解で、
は
(
)
で割り切れます。つまり、
は
で割り切れます。
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