早大理工数学
'21
年
[3]
複素数
,
に対応する複素数平面上の点を
,
とする。このとき、以下の問に答えよ。
(1)
複素数平面上の点
,
と原点
O
の
3
点は一直線上にあることを示せ。
(2)
点
が直線
AB
上を動くとき、
の実部を
x
,虚部を
y
として、点
の軌跡を
x
,
y
の方程式で表せ。
(3)
点
が三角形
OAB
の周および内部にあるとき、点
全体のなす図形を
K
とする。
K
を複素数平面上に図示せよ。
(4) (3)
の図形
K
の面積を求めよ。
解答
という変換で三角形がどんな図形に移るか、という問題です。
(1)
,
より、
これは、
,
と原点
O
の
3
点が一直線上にあることを意味します。
(2)
,
は、虚部が等しいので、直線
AB
上の点
は、
r
を実数として、
と表せます。
より
,
・・・@
より、
,点
の軌跡は、放物線:
......[
答
]
(3)
線分
AB
上の点は、@において
より、
z
が線分
AB
上にあるとき、点
は、放物線:
の
の部分に来ます。
線分
OA
上の点
z
は、
として、
となるので、
(
)
より、点
は、原点
O
と点
を結ぶ線分、つまり、直線
(
)
の
の部分に来ます。
線分
OB
上の点
z
は、
として、
となるので、
(
)
より、点
は、原点
O
と点
を結ぶ線分、つまり、直線
(
)
の
の部分に来ます。
三角形
OAB
の内部は、上記
3
境界線で囲まれた内部に移ります。よって、
K
を図示すると、右図黄緑色着色部
(
境界線を含む
) ......[
答
]
(4)
K
の面積
S
は、直線
と放物線
とで囲まれる部分
(
K
は
の範囲にある
)
の面積で、
......[
答
]
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