早大理工数学'21年[3]
複素数，に対応する複素数平面上の点を，とする。このとき、以下の問に答えよ。
(1) 複素数平面上の点，と原点Oの3点は一直線上にあることを示せ。
(2) 点が直線AB上を動くとき、の実部をx，虚部をyとして、点の軌跡をx，yの方程式で表せ。
(3) 点が三角形OABの周および内部にあるとき、点全体のなす図形をKとする。Kを複素数平面上に図示せよ。
(4) (3)の図形Kの面積を求めよ。
解答　という変換で三角形がどんな図形に移るか、という問題です。

(1) ，より、
これは、，と原点Oの3点が一直線上にあることを意味します。
(2) ，は、虚部が等しいので、直線AB上の点は、rを実数として、と表せます。より
，　･･･①
より、，点の軌跡は、放物線： ......[答]
(3) 線分AB上の点は、①においてより、zが線分AB上にあるとき、点は、放物線：のの部分に来ます。
線分OA上の点zは、として、となるので、 ()より、点は、原点Oと点を結ぶ線分、つまり、直線 ()のの部分に来ます。
線分OB上の点zは、として、となるので、 ()より、点は、原点Oと点を結ぶ線分、つまり、直線 ()のの部分に来ます。
三角形OABの内部は、上記3境界線で囲まれた内部に移ります。よって、Kを図示すると、右図黄緑色着色部(境界線を含む) ......[答]
(4) Kの面積Sは、直線と放物線とで囲まれる部分(Kはの範囲にある)の面積で、
......[答]


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