早大理工数学'21[3]

複素数に対応する複素数平面上の点をとする。このとき、以下の問に答えよ。
(1) 複素数平面上の点と原点O3点は一直線上にあることを示せ。
(2) が直線AB上を動くとき、の実部をx,虚部をyとして、点の軌跡をxyの方程式で表せ。
(3) が三角形OABの周および内部にあるとき、点全体のなす図形をKとする。Kを複素数平面上に図示せよ。
(4) (3)の図形Kの面積を求めよ。

解答 という変換で三角形がどんな図形に移るか、という問題です。

(1) より、
これは、と原点O3点が一直線上にあることを意味します。
(2) は、虚部が等しいので、直線AB上の点は、rを実数として、と表せます。より
 ・・・@
より、,点の軌跡は、放物線: ......[]
(3) 線分AB上の点は、@においてより、zが線分AB上にあるとき、点は、放物線:の部分に来ます。
線分OA上の点zは、として、となるので、 ()より、点は、原点Oと点を結ぶ線分、つまり、直線 ()の部分に来ます。
線分
OB上の点zは、として、となるので、 ()より、点は、原点Oと点を結ぶ線分、つまり、直線 ()の部分に来ます。
三角形
OABの内部は、上記3境界線で囲まれた内部に移ります。よって、Kを図示すると、右図黄緑色着色部(境界線を含む) ......[]
(4) Kの面積Sは、直線と放物線とで囲まれる部分(Kの範囲にある)の面積で、
......[]



   早大理工数学TOP   数学TOP   TOPページに戻る

各問題の著作権は出題大学に属します。
©2005-2021
(有)りるらる
苦学楽学塾 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元