早大理工数学'21年[4]
n，kを2以上の自然数とする。n個の箱の中にk個の玉を無作為に入れ、各箱に入った玉の個数を数える。その最大値と最小値の差がとなる確率を ()とする。このとき、以下の問に答えよ。
(1) ，のとき、を求めよ。
(2) ，のとき、を求めよ。
(3) ，のとき、を求めよ。
解答　計算は大したことはありませんが、少々思い悩むところがある問題です。n部屋にk人を入れる部屋割りの問題や、立候補者n人、投票者k人の選挙の投票パターンの問題と同じように考えます。

k個の玉の1個ごとにどの箱に入るか箱の選び方がn通りあり、玉の入れ方は全部で通りあります。　･･･(＊)

(1) (＊)において、，として、全事象は通りあります。
最大値と最小値の差が3になるのは、1つの箱に3個の玉が入り、もう1つの箱に玉が入らない場合で、箱を，として、玉が3個ともに入る場合と、3個ともに入る場合と2通りあり、 ......[答]
最大値と最小値の差が2になることはなく、 ......[答]
最大値と最小値の差が1になるのは、1つの箱に2個入り、もう1つの箱に1個入る場合で、に2個、に1個入るとき、3個の玉のどれがに入るかが3通りあり、に1個、に2個入るときも3通りで、 ......[答]
最大値と最小値の差が0，つまり2つの箱に同数ずつ入ることはなく、 ......[答]
(2) (＊)において、として、全事象は通りあります。
最大値と最小値の差が2になるのは、1つの箱に玉が2個入り、他の箱には玉が入らない場合です。箱を，，･･･，として、2個とも，2個とも，･･･，2個とも，のn通りあり、 ......[答]
最大値と最小値の差が1になるのは、2個の箱に玉が1個ずつ入り、他の箱に玉が入らない場合ですが、で箱が2個しかないときには、こうしたことが起こりません。従って、とで分けて考える必要があります。
のとき、n個の箱から玉が入る2個を選ぶのが通り、仮にとを選んだとして、2個の玉のどちらをに入れるかが2通りあり、 ......[答]
のとき、最大値と最小値の差が0，つまり、n個の箱に同数ずつ玉が入ることはなく、 ......[答]
のとき、最大値と最小値の差が1になることはなく、 ......[答]
のとき、最大値と最小値の差が0になるのは、2個の箱に玉が1個ずつ入る場合で、1個の玉がに入るか、に入るか2通りあり、全事象は通りで、 ......[答]
(3) (＊)において、として、全事象は通りあります。
最大値と最小値の差が3になるのは、1つの箱に玉が3個入り、他の箱には玉が入らない場合です。3個とも，3個とも，･･･，3個とも，のn通りあり、 ......[答]
最大値と最小値の差が2になるのは、1つの箱に2個の玉が入り、それ以外のどれか1つの箱に1個の玉が入り，他の箱には玉が入らない場合です。n個の箱から玉が入る2個を選ぶのが通り、仮にとを選んだとして、2個の玉を入れるのがかかで2通り、3個の玉のうち、1個だけ入れる箱にどの1個を入れるかが3通りあり、 ......[答]
最大値と最小値の差が1になるのは、3個の箱に玉が1個ずつ入り、他の箱に玉が入らない場合ですが、で箱が3個しかないときには、こうしたことが起こりません。従って、とで分けて考える必要があります。
のとき、n個の箱から玉が入る3個を選び、3個の箱のどれに3個の玉のどの玉を入れるかが通りあり、 ......[答]
のとき、最大値と最小値の差が0，つまり、n個の箱に同数ずつ玉が入ることはなく、 ......[答]
のとき、最大値と最小値の差が1になることはなく、 ......[答]
のとき、最大値と最小値の差が0になるのは、3個の箱に玉が1個ずつ入る場合で、，，にどの玉が入るかが通りあり、全事象は通りで、 ......[答]


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