早大理工数学
'21
年
[4]
n
,
k
を
2
以上の自然数とする。
n
個の箱の中に
k
個の玉を無作為に入れ、各箱に入った玉の個数を数える。その最大値と最小値の差が
となる確率を
(
)
とする。このとき、以下の問に答えよ。
(1)
,
のとき、
を求めよ。
(2)
,
のとき、
を求めよ。
(3)
,
のとき、
を求めよ。
解答
計算は大したことはありませんが、少々思い悩むところがある問題です。
n
部屋に
k
人を入れる部屋割りの問題や、立候補者
n
人、投票者
k
人の選挙の投票パターンの問題と同じように考えます。
k
個の玉の
1
個ごとにどの箱に入るか箱の選び方が
n
通りあり、玉の入れ方は全部で
通りあります。 ・・・
(
*
)
(1) (
*
)
において、
,
として、全事象は
通りあります。
最大値と最小値の差が
3
になるのは、
1
つの箱に
3
個の玉が入り、もう
1
つの箱に玉が入らない場合で、箱を
,
として、玉が
3
個とも
に入る場合と、
3
個とも
に入る場合と
2
通りあり、
......[
答
]
最大値と最小値の差が
2
になることはなく、
......[
答
]
最大値と最小値の差が
1
になるのは、
1
つの箱に
2
個入り、もう
1
つの箱に
1
個入る場合で、
に
2
個、
に
1
個入るとき、
3
個の玉のどれが
に入るかが
3
通りあり、
に
1
個、
に
2
個入るときも
3
通りで、
......[
答
]
最大値と最小値の差が
0
,つまり
2
つの箱に同数ずつ入ることはなく、
......[
答
]
(2) (
*
)
において、
として、全事象は
通りあります。
最大値と最小値の差が
2
になるのは、
1
つの箱に玉が
2
個入り、他の箱には玉が入らない場合です。箱を
,
,・・・,
として、
2
個とも
,
2
個とも
,・・・,
2
個とも
,の
n
通りあり、
......[
答
]
最大値と最小値の差が
1
になるのは、
2
個の箱に玉が
1
個ずつ入り、他の箱に玉が入らない場合ですが、
で箱が
2
個しかないときには、こうしたことが起こりません。従って、
と
で分けて考える必要があります。
のとき、
n
個の箱から玉が入る
2
個を選ぶのが
通り、仮に
と
を選んだとして、
2
個の玉のどちらを
に入れるかが
2
通りあり、
......[
答
]
のとき、最大値と最小値の差が
0
,つまり、
n
個の箱に同数ずつ玉が入ることはなく、
......[
答
]
のとき、最大値と最小値の差が
1
になることはなく、
......[
答
]
のとき、最大値と最小値の差が
0
になるのは、
2
個の箱に玉が
1
個ずつ入る場合で、
1
個の玉が
に入るか、
に入るか
2
通りあり、全事象は
通りで、
......[
答
]
(3) (
*
)
において、
として、全事象は
通りあります。
最大値と最小値の差が
3
になるのは、
1
つの箱に玉が
3
個入り、他の箱には玉が入らない場合です。
3
個とも
,
3
個とも
,・・・,
3
個とも
,の
n
通りあり、
......[
答
]
最大値と最小値の差が
2
になるのは、
1
つの箱に
2
個の玉が入り、それ以外のどれか
1
つの箱に
1
個の玉が入り,他の箱には玉が入らない場合です。
n
個の箱から玉が入る
2
個を選ぶのが
通り、仮に
と
を選んだとして、
2
個の玉を入れるのが
か
かで
2
通り、
3
個の玉のうち、
1
個だけ入れる箱にどの
1
個を入れるかが
3
通りあり、
......[
答
]
最大値と最小値の差が
1
になるのは、
3
個の箱に玉が
1
個ずつ入り、他の箱に玉が入らない場合ですが、
で箱が
3
個しかないときには、こうしたことが起こりません。従って、
と
で分けて考える必要があります。
のとき、
n
個の箱から玉が入る
3
個を選び、
3
個の箱のどれに
3
個の玉のどの玉を入れるかが
通りあり、
......[
答
]
のとき、最大値と最小値の差が
0
,つまり、
n
個の箱に同数ずつ玉が入ることはなく、
......[
答
]
のとき、最大値と最小値の差が
1
になることはなく、
......[
答
]
のとき、最大値と最小値の差が
0
になるのは、
3
個の箱に玉が
1
個ずつ入る場合で、
,
,
にどの玉が入るかが
通りあり、全事象は
通りで、
......[
答
]
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