早大理工数学'21[5]

正四面体OABCに対し、三角形ABCの外心をMとし、Mを中心として点ABCを通る球面をSとする。また、Sと辺OAOBOCとの交点のうち、ABCとは異なるものをそれぞれDEFとする。さらに、Sと三角形OABの共通部分として得られる弧DEを考え、その弧を含む円周の中心をGとする。として、以下の問に答えよ。
(1) を用いて表せ。
(2) 三角形OABの面積を,四角形ODGEの面積をとするとき、をできるだけ簡単な整数により表せ。

解答 素直に内積計算すると計算量が多くなるので、工夫が必要です。

(1) 正三角形では外心と重心は一致するので、Mは三角形の重心で、
 ・・・@
ここで、正四面体の各辺の長さを1とすると、OAOBOC相互の間のなす角はなので、
 ・・・A
ADMを中心とする球面S上の点ですが、△OAH上で、ということは、MADの垂直二等分線上の点で、ADの中点をJとして、DJも辺OA上の点で、
 ・・・B
とおくと、より、です。@より、


(∵ A)
Bより、 ......[] ・・・C
正四面体の対称性より、全く同様にして、
......[]
D
EABは球面S上の点で、弧DEを含む円周上の点でもあります。よって、この円の中心Gは△OAB上の点で、正三角形OABの対称性より、Gは、ABの垂直二等分線(Oを通る)上の点です。よって、
とおけます。また、△OAB上で、GADの垂直二等分線(ADの中点Jを通りOAに垂直)上の点で、より、

......[]
(2) ABの中点をNとして、

= = 98
DEONの交点をKとしてCより、OKON = 13 = 39より、△ODE:△OAB = 19 = 327
また、OKKG = OK= 3= 35より、△ODE:△DEG = 35
四角形ODGEの面積は△ODE+△DEG,よって、
= 2735 = 278 ......[]



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