阪大物理'11年前期[3]
風船では、ゴムが縮もうとする力によって内部の圧力が外部の圧力より高くなる。このような風船に単原子分子理想気体Aを
モル入れ、それを図のように
モルの単原子分子理想気体Bの入ったピストン付きのシリンダーに入れた。このシリンダーとピストンは外部との熱の出入りがないような断熱材でできている。シリンダーは風船に対して十分大きいとする。このシリンダーにはヒーターが取り付けられている。ピストンはなめらかに動き、風船外部の気体Bの圧力は常に一定でPであるとする。
以下で考える風船は熱をよく通し、風船外部と風船内部の温度は同じである。風船は気体を通すことはない。風船を作っているゴムの質量、厚み、および熱容量は無視できるとする。以下、気体定数をRとする。
Ⅰ．まず、風船内部の気体Aの圧力
が風船外部の気体Bの圧力Pによって と与えられる風船の場合を考える。ここでaは正の定数である。気体Aと気体Bの温度がともにTのとき、気体Aの体積は
，気体Bの体積は
であった。以下の文中の に入る適切な式をa，R，P，
のうち必要なものを用いて解答欄に記入せよ。
気体Bの圧力をPに保ちながら、ヒーターで熱量
を加えた。すると、気体Aと気体Bの温度がともに上がってTから
になった。またこのとき、風船がふくらみ、ピストンが動いて、気体Aの体積が
から
に、気体Bの体積が
から
になった。変化の前後で気体Aの状態方程式を考えることにより、
は 
(1) 
と表すことができる。
風船の内外の圧力が異なるため、この変化の間に風船内部の気体Aが風船にした仕事と、風船が気体Bに対してした仕事は異なる。したがって、その差は風船のゴムにエネルギーとしてたくわえられる。つまり、この変化でゴムにたくわえられているエネルギーは (2) 
だけ増加したことになる。
また、この変化でシリンダー内部の気体Ｂがピストンに対してした仕事
は である。気体の内部エネルギーの増加、気体がピストンにした仕事、風船のゴムにたくわえられたエネルギーの増加を考慮することにより、加えた熱量
は であることがわかる。ただし、単原子分子理想気体の定積モル比熱は
である。
Ⅱ．次に、風船内部の気体Aの圧力
が風船外部の気体Bの圧力Pと気体Aの体積
によって と与えられる風船の場合を考える。ここでbとcは正の定数である。以下では
の場合を考える。気体Aと気体Bの温度がともにTのとき、気体Aの体積は
，気体Bの体積は
であった。以下の文中の に入る適切な式をb，c，R，P，
のうち必要なものを用いて解答欄に記入せよ。
気体Bの圧力をPに保ちながら、ヒーターで微小な熱量
を加えた。すると、気体Aと気体Bの温度がともに微小量だけ上がってTから
になり、気体Aの体積が微小量だけ変化して
から
になった。以下では、
は
に比べて非常に小さいので
は無視できるとする。変化の前後で気体Aの状態方程式を考えることにより、
は と表すことができる。以下、
(7) とおく。
Ⅰの場合と同様にして、気体の内部エネルギーの増加、気体がピストンにした仕事、風船のゴムにたくわえられたエネルギーの増加を考慮することにより、加えた熱量
は
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解答 シリンダーの中にさらに風船があり、風船のゴムのエネルギーも考慮する、というややこしい設定なので、エネルギーのやりとりの考察が難しくなっています。
Ⅰ．風船内部の気体の圧力
と風船外部の圧力Pとの間に、
という関係がある、ということは、風船の表面積をSとして、風船内部の気体が風船に
という力を及ぼし、風船外部の気体が風船に
という力を及ぼすので、風船が風船内部の気体に及ぼす力をFとして、力のつり合いの式が、 となる、ということです。つまり、風船が風船内部の気体に一定の力
を及ぼす、ということです。風船表面が外に向かって一様に微小距離
移動すると、風船のゴムのエネルギーは、重力の位置エネルギーと同様に考え、 だけ増加します。
初期状態の気体Aの状態方程式：
･･･①
加熱後の気体Aの状態方程式：
･･･②
②－①より、
･･･③
∴ 
(1) 
......[答]風船内部の気体Aが気体にした仕事は、
です。一方で、風船が風船外部の気体Bがした仕事は、
です。この差、つまり、風船のゴムが蓄えたエネルギーの増加分は、 (2) a ......[答]シリンダー内部の体積は、
だけ増加しています。シリンダー内部の気体Bがピストンに対してした仕事は、 (3) P (4) P ......[答]ヒーターが気体Bを加熱している間に、気体Bがした仕事(3)(4)は、
気体A，気体Bの内部エネルギーの変化は、
，
風船が蓄えたエネルギーの増加分(2)が、
これらの総和が加えた熱量
になります(熱力学第1法則を参照)。 初期状態の気体Bの状態方程式：
･･･④
加熱後の気体Bの状態方程式：
･･･⑤
⑤－④より、 
･･･⑥③，⑥を用いて、
(5) 
(6) 
......[答] 注．気体Aが風船にした仕事、気体Bが風船にした仕事は、
として、
の式に現れていることに注意してください。
Ⅱ．今度は圧力が体積依存性をもつので、状態方程式を書くのに注意が必要です。
初期状態の気体Aの状態方程式：
･･･⑦
加熱後の気体Aの状態方程式： 
･･･⑧⑧－⑦より、
を無視すると、 ∴ 
･･･⑨(7) 
......[答]この場合は、
を
に対してプロットすると、p-V図は傾き
の直線になります。
気体Aが風船に対してした仕事
は、
を無視すると、台形の面積として、 風船が気体Bに対してした仕事
は、
風船が蓄えたエネルギー
は、
気体Bの体積変化を
として、気体Bがピストンに対してした仕事
は、
気体A，気体Bの内部エネルギーの変化は、
，
加えた熱量
は、Ⅰ．と同様にして、 (8) 
(9) 
......[答]
より、
∴ 
(10) (ア) ......[答]
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(3) 
(4) 
(5) 
(6) 
は(7)で求めた
である。
で、Ⅱの場合の熱容量は
で与えられる。これらの二つの熱容量の間には
， (イ) 
， (ウ) 
(∵ ⑨，⑥)
