京大物理'20年前期[1]

次の文章を読んで、  に適した式または数値を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、  はすでに  で与えられたものと同じものを表す。また、問1では、指示にしたがって、解答を解答欄に記入せよ。

以下では、ばね定数
kで自然長のばね、および長さLの糸を用いる。ばねや糸の質量は無視できるものとし、重力加速度の大きさを,円周率をπとする。

(1) 1のように、質量m2つの小球(質点)を糸とばねでつるし、つり合いの位置で静止させた。2つの小球は鉛直方向にのみ運動するものとし、糸がたるんでいないときの小球1の位置を原点として、鉛直下向きを座標軸の正の向きとする。また、小球1は天井にぶつからず、小球同士は衝突しないものとする。
いま、小球2をつり合いの位置から長さdだけ引き下げ、静かに手を離す。dが十分に小さいときは、運動の途中で糸はたるまず、小球2は位置 ア を中心とした、振幅 イ の単振動をおこなう。dがある値より大きいときは、運動の途中で糸がたるむ。小球1にはたらく重力、糸の張力、ばねの力のつり合いを考えると、糸がたるみ始めた瞬間の小球2の位置はmkを用いて ウ と表されるので、運動の途中で糸がたるむための条件は、d >  エ とわかる。
次に、
dが十分に大きく、糸がたるむ場合の運動を考えよう。小球12の位置をそれぞれとし、重心の位置,および小球1からみた小球2の相対位置について、糸がたるみ始めてから再びたるみがなくなるまでの運動を考える。2つの小球にはたらくばねの力は、互いに逆向きで大きさが等しいので、重心はばねの力の影響を受けずに鉛直投げ上げ運動をおこなう。糸がたるみ始めた瞬間における重心の速さをmkdを用いて表すと オ となる。一方、2つの小球にはたらく重力は、向きが同じで大きさが等しいので、相対位置xは重力の影響を受けずにばねの力で単振動をおこない、その周期は カ で与えられる。また、小球1の速度が最小値をとる瞬間において、小球1からみた小球2の相対速度は キ × オ とわかる。

(2) 2のように、質量m2つの小球(質点)をばねと糸でつるす。2つの小球は鉛直方向にのみ運動するものとし、ばねが自然長のときの小球1の位置を原点として、鉛直下向きを座標軸の正の向きとする。いま図3のように、小球2を支えて静止させたところ、糸はたるまず張力が0であり、小球1も静止していたとする。このとき、小球1の位置は ク である。この状態から、時刻0に小球2を上方に速さvで打ち上げた。
まず、打ち上げ後に、小球2が小球1に衝突せず落下に転じる場合を考える。小球2が落下し、打ち上げられた位置に戻ってきたとき、糸のたるみがなくなる。たるみがなくなる前後で小球12の力学的エネルギーの和は保存されるものとすると、たるみがなくなった直後には、小球2の速度は ケ であり、小球1は振幅が コ の単振動を始める。
次に、打ち上げ後に、小球
2が落下せず小球1と弾性衝突する場合を考える。衝突直後の小球1の速さは、vLを用いて サ と表される。衝突後、2つの小球は糸がたるんだまま運動し、小球1が衝突時の位置に戻るまでのある時刻Tに糸のたるみがなくなった。その直後からしばらくの間、糸のたるみがないまま運動が続く条件を考えよう。まず、時刻Tに、小球の間の距離はLである。また、たるみがなくなる前後で小球12の力学的エネルギーの和は保存されるものとすると、時刻Tの直後に糸がたるまないためには、時刻Tの直前に小球1からみた小球2の速度は シ でなければならない。よって、小球1にはたらくばねの力Fは、時刻Tの直前にである(鉛直下向きを正とする)。一方、時刻Tには糸のたるみがないため張力が0以上であるが、そのときならば直後に糸がたるんでしまう。以上のことより、いま考えている運動においては、時刻Tに小球1の位置は ス でなければならない。2つの小球の力学的エネルギーが、衝突後から時刻Tの間はそれぞれ保存することを考えると、得られた条件より打ち上げの速さvは、mkLを用いて表される関係式=  セ を満たすことがわかる。

1 小球同士が弾性衝突した時刻をとする。図4を解答欄に描き写し、時刻0からTまでの、小球の速度を表すグラフを描け。なお、小球1を実線で、小球2を二重線で表すこととする。図4に示されている値以外に、速度や時間の値を書き加える必要はない。


解答 微妙な点を深く熟考しなければいけない問題です。

(1) 単振動の中心はつり合いの位置です。ばねの自然長からののびをとして、重力と弾性力のつり合いから、
 ∴  ・・・@
小球2の振動中心の位置は、 ......[]
手を離した位置が振動端となり、振幅は、振動端と振動中心との距離で、d ......[]
小球1に働く力は、糸の張力S(上向き),重力(下向き),ばねの縮みをとして、弾性力(上向き),糸がたるんでいないときのつり合いより、
 ∴
糸がたるむ瞬間にとなり、ばねの縮みは、 ・・・A
たるみ始めるときの小球
2の位置は、 ......[]
小球2の単振動において、手を離した位置とは逆の振動端(振動中心から振幅dだけ上)の位置が、[]より上に来ればたるむので(座標軸は鉛直下無が正)
 ∴ ......[]
糸がたるみ始めるまで、小球1に静止していて、小球2は単振動しています。手を離したときの小球2の弾性力+重力の位置エネルギーは (つり合いの位置からの変位を考えます),糸がたるむ瞬間に、このときの小球2の速さをとして運動エネルギーは,小球2はつり合いの位置より変位しているので、弾性力+重力の位置エネルギーは,手を離したときと糸がたるむ瞬間との力学的エネルギー保存より、
 ∴
小球1の速さはなので、重心の速さは、
......[]
問題文にある通り、糸がたるみ始めた以後は、重心は鉛直投げ上げ運動、相対位置xは単振動します(問題文が紛らわしいので注意)
小球
1の運動方程式は、小球1の加速度をとして、
 ・・・B
小球2の運動方程式は、小球2の加速度をとして、
 ・・・C
B+Cとすると、となり、重心の加速度は、
C−Bとすると、,相対加速度は、
これより、相対位置
xは、角振動数の単振動となります。その周期は、
......[]
糸がたるみ始めたとき、ばねの縮みはAよりで小球1の速度は0,以後、小球1に働く力は、縮んだばねが小球1を上向きに押す力の大きさが下向きの重力の大きさを上回り、小球1は上向きに加速されます(小球1の上向きの速さは増大するが、速度は負になり減少し、加速度は負)。ばねが最も縮んだところから伸び始め、ばねの縮みがとなり弾性力と重力がつり合った瞬間に、小球1の加速度が0となり小球の速度が最小値をとります。
糸がたるみ始めたとき、ばねの縮みはで小球
1の速度は0,小球2の速度は上向きで,相対速度はです。小球1の速度が最小になるとき、ばねの縮みはとなりたるみ始めたときに戻るので、相対位置xが単振動していることから、相対速度は、たるみ始めたときと向きを変え、大きさは等しくとなります。これは、[]2倍です。2 ......[]

(2) 小球1には張力が働かず、@と同様に小球1に働く力がつり合うとき、ばねは伸びるので、このときの小球1の位置は、 ......[]
打ち上げ後に衝突しない場合、小球2が打ち上げられた位置に戻りたるみがなくなる直前、小球2は下向きに速さvで落下します。たるみがなくなる直後、小球1の速度を,小球2の速度をとすると、たるみがなくなる前後での力学的エネルギー保存より、
 ・・・D
運動量保存より、
 ・・・E
Eより、,Dに代入し、
小球1は単振動すを始めるので、,よって、
たるみがなくなった直後の小球2の速度は、0 ......[]
小球1の、たるみがなくなった直後(振動中心)と単振動最下点との力学的エネルギー保存より、求める振幅をAとして、
 ∴ ......[]
打ち上げ後に弾性衝突する場合、小球2の衝突直前の速さをとして、打ち上げたときと衝突直前との力学的エネルギー保存より、
 ∴
衝突直後の小球2の速度をとして(小球1の速度は)、衝突前後での運動量保存より、
 ・・・F
弾性衝突の反発係数の式は、
 ∴ ,Fに代入し、
 ∴
......[]
また、となり、衝突直後から小球2は自由落下します。糸のたるみがなくなる時刻Tの直前に、糸は伸びないので、小球2の速さが小球1の速さより大きくなることはありません。また、小球1の速さが小球2の速さより大きくなると糸はたるんでしまいます。従って、小球1と小球2の速さは等しく向きも同じで、小球1からみた小球2の速度は、0 ......[]
つまり、小球1の速度は下向きなので、小球2の速度も下向き、小球2には重力しか働かないのに、小球1が小球2に追いついてくるということは、小球1に働く重力以外の力、すなわち弾性力Fとなるはずです。ただし、では、小球2には重力しか働かないのに、小球1には重力に加えてばねの下向きの弾性力Fも働くことになり、時刻T以後、小球1の速さが小球2の速さよりも大きくなり、糸がたるんでしまいます。従って、,よって、ばねの長さは自然長で、時刻Tに小球1の位置は ......[]
小球2を投げ上げるとき、小球2の運動エネルギーは,重力の位置エネルギーは,小球1の弾性力+重力のエネルギーは0,時刻Tに糸のたるみがなくなったとき、小球1と小球2の速さをとして([]より両者の速度は等しい)、運動エネルギーはともに,小球1の弾性力+重力の位置エネルギーは,小球2の重力の位置エネルギーは
ここで、小球
2の衝突直後と時刻Tとの力学的エネルギー保存より、
 ・・・G
弾性衝突においては力学的エネルギーは保存されるので、小球2を投げ上げたときと時刻Tとの力学的エネルギー保存より、
Gを代入して、
 ∴ ......[]

1 右図



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