京都大学2022年前期物理入試問題

京都大学2022年前期物理入試問題

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[1]　次の文章を読んで、

に適した式または数値を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、

はすでに

で与えられたものと同じものを表す。また、問1，問2では、指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。ただし、重力加速度の大きさは

とし、摩擦や空気抵抗、小球の大きさと回転の影響は無視し、衝突はすべて完全弾性衝突とする。

図1のように、鉛直な壁があり、水平な床面から高さRの位置より上には点Oを中心とする半径Rの半円筒状のくぼみがある。半円筒の下端に質量Mの小球Aが静止しており、左から質量mの小球Bを速さvで水平に衝突させる。衝突によって小球Aは水平方向の速さVを得て、半円筒に沿った滑らかな運動を開始する。運動はすべて同一鉛直面内(すなわち、図1の紙面内)で起きているものとする。

(1) 図2のように小球Bが速さ

で左向きに跳ね返されるとき、運動量保存の法則から

が、力学的エネルギー保存の法則から

が成立するので、m，M，Vを用いて

，

と表せる。これより、小球Bが左向きに跳ね返される条件はMとmを用いて

と表せる。さらに、小球Bが床面に落下する地点と壁の距離

も、m，M，V，R，

を用いて

と表せる。

のとき、小球Aは半円筒の中心Oと同じ高さまで登る。つまり、

のとき、小球Aは半円筒の中心Oよりも低い高さまで登ったのちに半円筒に沿って下ってくる。そして半円筒の端から放物線を描いて床面に落下する。ここで、小球Aの落下地点が小球Bの落下地点と同じであるとき、Mとmの関係は

と表せる。

(2) 図3(a)のように、小球Aが半円筒の中心Oよりも高い位置まで登り、角度θのときに半円筒の壁から離れるとする。離れる瞬間における小球Aの速さ

は

，R，θを用いて

と表される。このとき、衝突直後の速さVも同様に

，R，θを用いて

と表せる。

次に、図3(b)のように、半円筒の壁から離れた小球Aが、はじめに静止していた位置(半円筒の下の端の位置)に落下し、そこで跳ね返って床面に落下する場合を考える。小球Aが跳ね返る面は水平と見なす。
小球Aがはじめに静止していた位置に落下するのは

の場合のみである。これを用いると、はじめの位置に落下する直前における小球Aの水平方向左向きの速さ

は、

とRを用いて

と表せ、鉛直方向下向きの速さ

も

とRを用いて

と表せる。そして、小球Aが床面に落下する地点と壁の距離

は

，R，

，

を用いて

と表せる。

問1　下線部で述べたように、小球Aがはじめに静止していた位置に落下するのは

の場合のみであることを示せ。

(3) 速さVが十分に大きい場合を考える。小球Aは図4(a)のように半円筒の上端から水平投射され、壁から距離

の床面に落下する。一方、落下したときの速さと角度で、落下した位置から小球Aを逆向きに投げ返すと、図4(b)のように半円筒を逆向きに周り、下端から速さVで水平投射され、壁から距離

離れた位置で床面に落下する。

問2　これら2つの距離の比

は、速さVが大きくなるにつれて

に近づく。その理由を簡潔に述べよ。

[解答へ]

[2]　次の文章を読んで、

に適した式または数値を、それぞれの解答欄に記入せよ。なお、

はすでに

で与えられたものと同じものを表す。また、問1では、指示にしたがって、解答を解答欄に記入せよ。

図1のように、水平面に無限の長さのはしご型導体が固定されており、その上に接触しないように少し隙間を設けて、直方体状の長い棒磁石が、図に示したN，Sの向きで鉛直に配置されている。なお、棒磁石の奥行方向の幅は、はしご型導体の幅と等しくaである。
棒磁石を鉛直に保ったまま、図の右方向に水平に一定の速さvで動かしているときに、はしご型導体の各部分に生じる電流について考察する。なお、以下の議論では、はしご型導体のどの部分についても、その自己インダクタンスは無視できるものとし、棒磁石の磁化は変化しないものとする。

まず、棒磁石の端面の形状が、はしご型導体の格子のちょうど1区画に一致する場合を考える。はしご型導体は、図2(a)のように、抵抗のみからなる左右に無限に続く回路網であると考えることができる。いま、棒磁石が一定の速さvでPQを横切っているときを考える。なお、図の灰色の領域に生じている磁束密度Bは、紙面に垂直で、均一かつ一定であるとし、それ以外の領域の磁束密度は0とみなせるものとする。また、回路の各部分の抵抗値は、図中に示した

，

で与えられるものとする。電流については、各図に示した矢印の向きを正とする。

(1) ここでは、無限に続く回路網を、図2(b)の回路に置き換えて考える。すなわち、図2(a)のPQの左右両端の半無限部分が、それぞれ1つの抵抗値

の抵抗に置き換えられているとする。図2(b)において、棒磁石がPQを横切っているとき、左の閉回路QPCDと、右の閉回路

には、ともに同じ、大きさ

の誘導起電力が発生する。したがって、QからPに流れる電流は

と求まる。電流が流れて抵抗において熱としてエネルギーが失われるから、棒磁石を一定の速さvで動かすには、単位時間当たり

の仕事をしなくてはならない。なお、回路を流れる電流を求めるとき、図2(c)のように、棒磁石が固定され、はしご型導体が速さvで左に動いていると考えても、結果は同じである。

(2) 次に、はしご型導体と等価とみなした図3(a)に示す無限の回路網について考える。ここで、図3(a)は図2(a)と同じ無限の回路網である。図3(b)は、図3(a)の回路網をPとQで切り離した左側の部分である。一方で、この半無限回路網は、図3(a)の回路網を、KとL，あるいはMとNで切り離したものと考えることもできる。このことを利用すると、図3(b)に示す半無限回路網の合成抵抗値を求めることができる。また、その合成抵抗値によって、図3(a)の回路網のどの半無限部分でも、1つの抵抗に置き換えて考えることができる。

問1　

：

= 4：1のときには、図3(b)の半無限回路網の合成抵抗値

(端点Pと端点Qの間の抵抗値)が

と同じになることを示せ。なお、説明のために、図を用いてよい。

以下、図4，図5，図6の回路網は、図2(a)と同じ無限の回路網である。ただし、(3)，(4)，(5)においては、

：

= 4：1の場合に限って考えることとし、

，

とおき、

の起電力をEとおく。

(3) 図4に示すQからPに流れる電流

を、改めてRとEを用いて表すと

である。また、(2)で述べたことを利用すれば、無限の回路網のあらゆる部分の電流を求めることができる。たとえば、KからLに流れる電流

は、電流

の

倍、MからNに流れる電流

は、電流

の

倍である。

(4) 図5(a)のように、点Pと点Qに発光ダイオードを図に示した向きで接続する。この発光ダイオードの電流電圧特性は、図5(b)に示すように、順方向電圧が

より小さいときは抵抗値が無限大、

以上では抵抗値が0とみなせるものとする。なお、発光ダイオードを接続する導線は、抵抗やインダクタンスが無視でき、棒磁石のつくる磁束を横切らないものとする。

棒磁石を動かす速さvと発光ダイオードに流れる電流の関係を測定したところ、図5(c)のような関係が得られた。図5(c)に示したように、発光ダイオードに電流が流れるのは、速さが

より大きいときであったが、その速さ

は

である。また、速さが

より大きいとき、回路網の各部分の電流をR，E，

のうち必要なものを用いて表すと、QからPに流れる電流

は

，KからLに流れる電流

は

，発光ダイオードを流れる電流は

である。

(5) つぎに、棒磁石の端面の形状が、はしご型導体の格子のちょうど3区画に一致する場合を考える(ただし、発光ダイオードは接続していない)。図6は、一定の速さvで移動している棒磁石による均一な磁束密度Bの範囲が、長方形

に一致していた位置から少し右に動いたときを表している。この場合、各部分を流れる電流は、(3)の結果を3つ重ね合わせることで容易に求めることができる。各部分の電流をR，Eを用いて表すと、QからPに流れる電流

は

，KからLに流れる電流

は

，MからNに流れる電流

は

である。

[解答へ]

[3]　次の文章を読んで、　　　に適した式または数値を、{　　　}からは適切なものをすべて選びその番号を、それぞれの解答欄に記入せよ。問1，問2では、指示にしたがって、解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。ただし、

など

を付した物理量は微小量であり、1次の項までを考えるものとする。

(1) 図1のように、ピストンによって、断面積Sのシリンダー内に密閉されたモル(mol)数nの理想気体を考える。以下、シリンダー内の理想気体を単に気体と呼ぶ。シリンダーは固定されており、ピストンは摩擦なしに動くものとする。ここで、気体定数はRとする。シリンダーの底(左端)とピストンの内面との間の長さをL，気体の絶対温度をTとする。このとき、シリンダー内の気体の圧力pは、