東工大物理'21年前期[1]

水平な床の面に座標軸xyをとり、その上で大きさが無視できる質量m3つの小球ABCを、長さL2本の糸でBACの順につないだものをすべらせる実験を行う。糸は伸び縮みせず、その質量は無視でき、床と小球の間に摩擦はないものとする。また、床は十分広く、運動の途中で小球が床の端に達することはない。

[A] 小球Aを原点に、小球Bと小球Cy軸上のの位置に、それぞれ静止させる。時刻において、図1のように、小球Aにのみx軸の正の向きに速さを与えて運動を開始させた。その後の小球の運動を観察したところ、運動開始直後は小球Bと小球Cの速度は0であり、その後小球Bと小球Cは近づいていき、やがてx軸上のある点で衝突した。運動の開始から衝突までの間、糸はたるむことはなく、小球Aから見ると、小球Bと小球Cは小球Aを中心とする円運動をした。以下の問に答えよ。

(a) 小球Bと小球Cが衝突する直前における、小球Bの速度のx成分を用いて表せ。

(b) 小球Bと小球Cが衝突する直前における、小球Bの速度のy成分を用いて表せ。

(c) 運動開始直後における、小球Bにつながれた糸の張力の大きさTmLを用いて表せ。

(d) 小球Bと小球Cが衝突する直前における、小球Bにつながれた糸の張力の大きさmLを用いて表せ。

[B] 図2に示すように、小球Aを原点に、小球Bと小球Cをそれぞれ座標 ()の点に配置し、静止させる。時刻において、小球Ax軸の正の向きに一定の大きさFの力を加える。以下のように、θの値を変えて実験1と実験2を行い、小球ABCの運動を記録した。いずれの場合にも糸がたるむことはなかった。

実験1となるように、すなわち小球Bと小球Cが接するように、小球を配置し静止させる。そしてにおいて小球Ax軸の正の向きに一定の大きさFの力を加えたところ、小球Bと小球Cは接したまま、3つの小球はx軸の正の向きに同じ加速度で等加速度運動した。その加速度の大きさはであった。

実験2θをある値 ()にとり、において小球Ax軸の正の向きに一定の大きさFの力を加えたところ、小球Bと小球Cは時刻においてはじめて衝突した。衝突直前の小球Bと小球Cの速度ベクトルのなす角はであった。

3は実験1と実験2における小球Ax座標の時間変化をにおいてグラフにしたものである。ただし、グラフは概形である。

これらの実験における小球の運動に関する、以下の問に答えよ。


(e) 実験1における小球Aの加速度の大きさmFを用いて表せ。

(f) 時刻における実験1の小球Aの速さをvとする。実験2の小球Bの衝突直前における速さwvを用いて表せ。

(g) 時刻における実験1と実験2の小球Ax座標をそれぞれおよびとする。比を求めよ。
(h) 実験2における小球Aの加速度の大きさのグラフの概形として最も適当なものを図4()()のうちから選び、記号で答えよ。



解答 答を眺めるだけでは簡単そうに見えますが、(f)(g)など、どうすれば解答に至るのかと思うくらいに難しく、考えにくい相対運動の問題です。(a)から丁寧に慎重に検討を進める必要があります。

[A](a) 小球Aから見て小球BCは、Aを中心とする円運動をするので、BCが衝突直前にx軸まで来たとき、Aから見たBCの相対速度はx軸に垂直で、相対速度のx方向成分は0です。このとき外部から見て、BCの速度のx成分はAの速度のx成分に一致します。運動開始時点と衝突直前との運動量保存より、
 ∴ ......[]

(b) 衝突直前の小球Bの運動エネルギーは、です。小球Cの運動エネルギーも同じです。運動開始時点ではBCの運動エネルギーは0です。小球Aの運動エネルギーは、運動開始時点では,衝突直前では,力学的エネルギー保存より、
(a)の結果を用いると、Bの速度はy軸負方向を向いていてより、
 ∴ ......[]

(c) Aから見てBCAを中心とする円運動をするので、運動開始時点で外部から見たAの速度がx軸方向にであれば、外部から見たBCの速度は0なので、Aから見たBCの速度はx軸方向にです。Aから見てBは、張力Tを向心力として半径Lの円運動をするので、運動方程式より、
......[]

(d) 衝突直前に、BCとつながれた2本の糸から受ける張力を受けるAの運動方程式は、Aの加速度をaとして、
衝突直前に、Aから見て、y軸負方向を向くBの速さは,また、Bx軸方向に慣性力を受けます。Aから見てBは、張力と慣性力を受けて半径Lの円運動をするので、運動方程式より、
 ∴ ......[]

[B](e) 実験1では小球ABCは一体となって等加速度運動します。運動方程式より、
 ∴ ......[]

(f) 実験1において、時間の間に力Fを受けて小球ABCが速さ0から速さvになるので、運動量の原理より、
 ・・・@
実験2において、衝突直前にBCの速度ベクトルのなす角がであることから、Bの速度がx軸となす角はで、速度のx方向成分はです。糸につながれてx軸正方向に引っ張られているので、速度のx成分は正です。Cの速度のx方向成分もです。衝突直前にAB間、AC間の糸はぴんと張っているので、このときx軸正方向のAの速度はBCの速度のx成分に一致しです(より大きければ糸は切れます。より小さければ糸はたるみます)。よって、運動量の原理より、
 ・・・A
@,Aより、
 ∴ ......[]

(g) (f)と同様に考えて、実験1において、エネルギーの原理より、
 ・・・B
実験2において、衝突直前のBCの運動エネルギーはAの運動エネルギーはです。エネルギーの原理より、
 ・・・C
C÷Bより、
......[]

(h) (f)の結果より、実験2において、時刻における小球Ax軸正方向の速さは、となり、実験1の時刻における速さに一致します。ということは、図3の実験1,実験2x-t グラフで、における接線の傾き(における速さ)は等しくなります。
実験1ではAの運動は加速度の等加速度運動なので、v-t グラフは原点を通る傾きの直線(を通る)になります。実験2v-t グラフは、において、実験2x座標が実験1x座標よりも大きいので、原点と点を結ぶ上に凸な曲線になります(この曲線を積分したものがx-t グラフ。接線の傾きは近辺ではよりも大きく、近辺ではよりも小さくなります)
実験
1-t グラフ(4の点線)は、t 軸に平行な直線ですが、実験2-t グラフ(4の実線)は、近辺ではとなり、のどこかでとなり(実験2v-t グラフの接線が実験1のグラフと平行になる)近辺ではとなります。こうなっているのは、() ......[]


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