東工大物理'24年前期[3]
図1のようにシリンダーとピストン及び温度調節機からなる装置に理想気体1molが封入されている。必要に応じて温度調節機により気体を加熱あるいは冷却するものとする。初期状態を体積
，圧力
，温度
(状態0)とする。状態0から図2に示す体積
(
)の状態への以下の3通りの変化を考える。
ここで、定圧モル比熱を
，定積モル比熱を
とし、比熱比を
，体積比を
とする。なお、シリンダーとピストンの間には摩擦はないものとする。さらに、気体はシリンダー及びピストンと熱のやり取りをしないものとする。
[A] 定圧変化、等温変化、断熱変化において気体が外部にする仕事をそれぞれ
，
，
とし、定圧変化及び等温変化において気体に加える熱量をそれぞれ
，
とする。以下の問いに答えよ。
(a) 定圧変化、等温変化、断熱変化の概略を解答欄にp-V図として描け。そして、
，
，
の大小関係を不等式で表せ。 (b) 
及び
を
，
を用いた数式、あるいは数値で表せ。
[B] 状態0から状態3への断熱変化を用いた熱機関を考える。状態0から状態3への断熱変化の後、圧力を
に保ちながら、体積を
から
に戻す。ここで、圧力
，体積
の状態を状態4とし、その温度を
とする。その後、体積を
に保ちながら気体に熱量Qを加え、状態4から状態0に戻す。以下の問いに答えよ。
(c) 問[A]の
とQの比
をaとγを用いて表せ。
(d) この熱機関の熱効率
はaとγを用いると以下のように表される。空欄(ア)にあてはまる数式を答えよ。
[C] 状態0から状態2への等温変化を用いた熱機関を考える。ここで状態0から状態2への等温変化において気体が外部にする仕事は
(eは自然対数の底)と表される。この等温変化後の状態2 (圧力
)から、体積を
に保ちながら状態3(圧力
)まで変化させ、その後圧力を
に保ちながら体積を
から
に戻す。すなわち問[B]と同様に温度
の状態4まで変化させる。その後、体積を
に保ちながら気体に熱量Qを加え、状態4から状態0に戻す。以下の問いに答えよ。
(e) 状態2から状態3への変化において気体が放出する熱量
を
，
，γ，aを用いて表せ。ただし、気体が熱を吸収する場合には熱量は負とする。
(f) この熱機関の熱効率
はaとγを用いると以下のように表される。空欄(イ)と(ウ)にあてはまる数式を答えよ。
[D] 状態0から状態1への定圧変化を用いた熱機関を考える。この定圧変化後の状態1(圧力
)から、体積を
に保ちながら状態3(圧力
)まで変化させ、その後圧力を
に保ちながら体積を
から
に戻す。すなわち、問[B]及び問[C]と同様に温度
の状態4まで変化させる。その後、体積を
に保ちながら気体に熱量Qを加え、状態4から状態0に戻す。以下の問いに答えよ。
(g) この熱機関の熱効率
はaとγを用いると以下のように表される。空欄(エ)にあてはまる数式を答えよ。
(h) 
及び
として、この熱機関の熱効率
と、問[B]及び問[C]における熱機関の熱効率
と
の3つの大小関係を不等式で表せ。必要に応じて、
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解答 定圧変化、等温変化、断熱変化を含むサイクルで熱効率の大小比較をするという問題で、難問とは言えないのですが、熱効率を答えるのに際し、体積比と比熱比を用いる、という指定が従来に見られないもので、なかなか指定通りの形に表せず、苦しんだ受験生が多かったと思います。
[A](a) p-V図は右図。p-V図と横軸(V軸)とで囲む面積が気体のした仕事なので、右図より、
......[答]
･･･①
......[答]
......[答]状態0における状態方程式：
･･･②
状態1における状態方程式：
･･･③
問題文と、③÷②より、
，つまり、
，
･･･④
状態3における状態方程式：
･･･⑤
状態4における状態方程式：
･･･⑥
[B](c) 状態3から状態4への変化は定圧変化ですが、このとき気体のした仕事
は、⑤，⑥を用いて、
･･･⑦この変化において気体のした仕事
は、断熱変化より内部エネルギーの減少分に等しく、⑨より、 
･･･⑩状態4→状態0の定積変化における気体が吸収した熱Qは、定積モル比熱の式を用いて、⑧，②より、 
･･･⑪⑩，⑪より、
......[答]
(d) ⑦の
は、⑥，⑧，⑨，②を用いると、 1サイクルで気体のした正味の仕事
は、⑩＋⑫として、
[C] 状態0から状態2への変化は等温変化なので、
です。またこの過程で内部エネルギーの変化はなく、[A](b)で見たように、気体が吸収した熱
は気体がした仕事
に等しく
です。
(e) 状態2から状態3への変化において、気体が吸収する熱
は、定積モル比熱の式より、⑩と同様にして、 よって、
より、 
(∵ ②)
......[答] (
で気体は熱を放出しています)
(f) 1サイクルで気体の正味の仕事は
，気体が吸収した熱は、
です。熱効率
は、⑪，⑫より、 分母分子を
で割り、
を用いて、
[D](g) 1サイクルで気体のした正味の仕事
は右図長方形で囲まれる部分の面積で、④，⑧，②より、1サイクルで気体が吸収した熱
は、①，④，⑪より、 
･･･⑭⑬，⑭より、
分母分子を
で割り、
を用いて、 
......[エ]
(h) (d)，(f)，(g)の結果に問題文中の数値を代入し、
以上より、
......[答]
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，圧力
，温度
(状態1)
，圧力
，温度
(状態2)
，圧力
，温度
(状態3)
，
，
∴ 
･･･⑧
∴ 
･･･⑨
(
です) ･･･⑫
(∵ 
)
......[ア]
......[イ] 
......[ウ]
･･･⑬
と気体のした仕事
は等しく