東大物理'19年前期[1]
水平な床面上にとったx軸に沿って動く台車の上の物体の運動について以下の設問Ⅰ，Ⅱに答えよ。
Ⅰ 図1-1に示すように、台車の上にばね定数kを持ち質量の無視できるばねを介して質量mの物体が取り付けられており、物体は台車上を滑らかに動く。台車に固定された座標軸yを、ばねの自然長の位置を原点として、x軸と同じ向きにとる。ばねはy軸方向にのみ伸び縮みし、ばねと台車は十分長い。台車はx軸方向に任意の加速度aで強制的に運動させることができる。
として以下の設問に答えよ。 表1-1| | 時刻t | 台車の加速度a |
| 加速区間 | 0～ |  |
| 等速区間 |  ～ | 0 |
| 減速区間 |  ～ |  |
(1) 台車が
，物体が
で静止している状態から、台車を表1-1に示す加速度で強制的に運動させる。加速度の大きさ
は定数である。時刻
における台車の速度、および時刻
から
までの間に台車が移動する距離を求めよ。 (2) 物体が
で静止している状態から、表1-1で
，
(nは自然数)として台車を動かす。時刻
における物体のy座標および台車に対する相対速度を求めよ。
(3) 次に台車を止めた状態で物体を
(
)にいったん固定したのち、
で物体を静かに放し、表1-2に示す加速度で台車を強制的に運動させる。 加速度の大きさ
がある定数のとき、時刻
において物体のy座標は
となり、台車に対する物体の相対速度も0となる。
の値および
における物体のy座標を求めよ。
Ⅱ 手のひらの上に棒を立て、棒が倒れないように手を動かす遊びがある。このしくみを図1-2に示す倒立振子で考える。倒立振子は質量の無視できる変形しない長さ
の細い棒の先端に質量mの質点を取り付けたものとし、台車上の点Oを支点としてx軸を含む鉛直面内で滑らかに動くことができる。倒立振子の傾きは鉛直上向きから図1-2の時計回り角度θ(ラジアン)で表す。θの大きさは十分に小さく、
，
の近似が成り立つ。台車は倒立振子の運動の影響を受けることなく任意の加速度aで強制的に動かせるものとする。重力加速度の大きさを
，
として以下の設問に答えよ。(1) 台車が加速度aで加速しているとき、台車上で見ると、θだけ傾いた倒立振子の先端の質点には、図1-2に示すように重力
と慣性力
が作用している。質点に働く力の棒に垂直な成分f をθ，a，m，
を用いて表せ。ただし、f の正の向きはθが増える向きと同じとする。
(2) 時刻
で台車は静止しており、倒立振子を
傾けて静止させた状態から始まる運動を考える。時刻
で台車が静止し、かつ倒立振子が
で静止するようにしたい。そのために倒立振子を図1-3に示すように運動させる。すなわち単振動の半周期分の運動で
から0を通過して
で
に至り、続いて
から振幅の異なる単振動の半周期分の運動ののち、
において
に戻り静止する。このような運動となるように加速度aを変化させる。
以下の式中の空欄
から
に当てはまる式を選択肢①から⑰の中から選べ。選択肢は繰り返し使って良い。また空欄
から
に当てはまる数式を書け。
時刻
から
の間のθは と表される。このように単振動する質点にはたらく復元力Fは
である。この運動を実現するためには設問Ⅱ(1)で求めたf がFと等しければよいので加速度aは次の式となる。
この式の第1項が単振動の加速度と同じ形であることを考慮すると、時刻
から
の台車の速度の変化
は
，
，
，
を用いて となる。
時刻
から
の運動についても単振動の半周期分であるので同様に考えれば、この区間の台車の速度の変化
は
，
，
を用いて となる。よって
を得る。
① 
② 
③ 
④ 
⑤ 
⑥ 
⑦ 0 ⑧ π ⑨ 
⑩ 
⑪ 
⑫ 
⑬ 
⑭ 
⑮ 
⑯ 
⑰ 
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解答 前半は、面倒ですが、慣性力がからむ単振動の基本問題です。後半は、手の上に立てた棒を倒さないようにするには、手をどのように動かせばよいか、という問題です。
Ⅰ(1) 0～
は等加速度運動で、等加速度運動の公式より、
における台車の速度
は、 
......[答]0～
の移動距離
は、
～
は速度
の等速度運動で、移動距離
は、
～
は等加速度運動で、移動距離
は、
0～
の移動距離は、 
......[答]
物体は、最初に
で静止していたのでここが振動端です。単振動の振幅
は、 
において物体は、単振動の
とは逆の振動端、に来て台車に対して静止します。ここから
，つまり、
の間は、慣性力がなくなり弾性力のみとなるので、単振動の振動中心は
に変わります。
で一旦台車に対して静止するので、ここが振動端となり、振幅
は、 です。物体は、
には他の振動端、 に来ます。
のときは、以降、この単振動が繰り返され、
において物体は、
において台車に対して静止します。
，つまり、
においては、台車の加速度が
に変わり、物体には慣性力
が働きます。単振動の振動中心(
とします)は、
より、
単振動の振幅
は、 物体は、
において、もう一つの振動端、 に来ます。
において、物体のy座標は、
......[答]この位置で物体は台車に対して静止するので、物体の台車に対する相対速度は、0 ......[答] 
注．上記のように丁寧に考えていくと時間がかかります。試験会場では、右図のような図を描いて、「図より」として効率的に答えるのが賢明です。(3) 0～
において、台車の加速度が
になるので、物体には慣性力
が働き、振動中心
は、
より、
，振幅
は、
となり、
のとき、他の振動端、 
･･･①に来ます。
～Tにおいて、台車の加速度が
になるので、物体には慣性力
が働き、振動中心
は、
より、
，振幅
は、 となり、
のとき、他の振動端、 これが0になるためには、
∴
......[答]
における物体のy座標は、①に代入して、 
......[答]
注．(3)も(2)と同様に右図のような図を描いて、「図より」として答えるのが賢明です。
Ⅱ(1) 重力
の棒に垂直な成分は
，慣性力
の棒に垂直な成分は、
，よって、質点に働く力の棒に垂直な成分f は、 
......[答]
(2) 倒立振子は周期
の単振動をします。
における倒立振子の運動が単振動であることから、図1-3より、振幅は
，振動中心は
であって、
において
，
において
であることより、 
･･･① [ア] 2 [イ] 1 ......[答]復元力Fは、単振動の角振動数が
であることから、 
[ウ] 10 ......[答]
と①より、
よって、台車の加速度aは、
[エ] 4 [オ] 1 ......[答] ･･･②
と
の違いを考えると、単振動の半周期は変わらず、
を求める積分のうち、単振動の部分(問題文に書かれている②式の第1項)はやはり0で、図1-3より振動中心は
であって、
[ii] 
......[答]時刻
において台車が静止するので、0～Tの台車の速度の変化について、
です。よって、[i]，[ii]より、 注．上記のように台車の加速度を変化させるとき、
と
とで、θは0に戻りますが、台車の位置が変化していることに注意してください。Ⅰ(3)でも台車の位置は変化しています。
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～T
から
の台車の速度変化
は、
より、
[i] 
......[答]
[iii] 
......[答]
の
なので、物体には、ばねの
より、
