東大物理'21年前期[1]

1-1に示すようなブランコの運動について考えてみよう。ブランコの支点をOとする。ブランコに乗っている人を質量mの質点とみなし、質点Pと呼ぶことにする。支点Oから水平な地面におろした垂線の足をGとする。ブランコの長さOP,支点Oの高さOGとする。ブランコの振れ角θとし、θOGを基準に反時計回りを正にとる。重力加速度の大きさをとする。また、ブランコは紙面内のみでたわむことなく運動するものとし、ブランコの質量や摩擦、空気抵抗は無視する。

T 以下の文章の ア  ウ にあてはまる式を、それぞれ直後の括弧内の文字を用いて表せ。

質点Pから静かに運動を開始したとする。支点Oにおける位置エネルギーを0とすると、運動を開始した時点における質点Pの力学的エネルギーは ア  (m)で与えられる。角度θにおける力学的エネルギーは、そのときの質点Pの速さをuとして イ  (uθm)で与えられる。力学的エネルギー保存則から、 ウ  (θ)となる。

U ブランコに二人が乗った場合を考えよう。質量の質点Aと、質量の質点Bを考える。図1-2に示すように、初期状態ではABが合わさって質点Pをなしているとし、質点Pから静かに運動を始めたとする。においてAはブランコを飛び降り、速さで水平に運動を始めた。一方、Aが飛び降りたことにより、Bを乗せたブランコはでそのまま静止した。その後Aに着地した。

(1) Aが飛び降りる直前の質点Pの速さをとして、を用いて表せ。

(2) 距離hを用いて表せ。また、のとき、距離を有効数字2桁で求めよ。

V ブランコをこぐことを考えよう。ブランコに乗った人が運動の途中で立ち上がったりしゃがみこんだりすることで、ブランコの振れ幅が変化していく。
まず図1-3に示すように、人がブランコで一度だけ立ち上がることを以下のように考える。質量mの質点P ()から静かに運動を始めた。次に角度において人が立ち上がったことにより、OPの長さがからへと瞬時に変化したとする()OPの長さが変化する直前のPの速さをvとし、直後の速さをとする。その後、OPの長さがのままPは運動を続け、角度 ()で静止した。ただし以下では、ブランコの振れ角θは常に十分小さいとして、と近似できることを用いよ。

(1) を用いて表せ。

OPの長さが変化する前後に関して以下のように考えることができる。長さOPの変化が十分速ければ、瞬間的にOP方向の強い力が働いたと考えられる。Oを中心とした座標系で考えると、この力は中心力なので、面積速度が長さOPの変化の前後で一定であるとしてよい。つまり、が成り立つ。

(2) を用いて表せ。

(3) を最大にすると、その時のを用いて表せ。

次に、人が何度も立ち上がったりしゃがみこんだりしてブランコをこぐことを、以下のようなサイクルとして考えてみよう。n回目のサイクル ()を次のように定義する。
で静止した質点POPの長さで静かに運動を開始する。において立ち上がりOPの長さがからへと瞬時に変化する。質点POPの長さのまま角度で静止した後、逆向きに運動を始め、角度で再び静止する。このとき、でしゃがみこみ、OPの長さはから再びへと瞬時に変化する。」
1回目のサイクルを始める前、質点P ()にあり、OPの長さはだった。その後、サイクルを開始し、以下順次,・・・と運動を続けていくものとする。

(4) n回目のサイクルの後のブランコの角度を、nを用いて表せ。

(5) のとき、N回目のサイクルの後に、初めてとなった。Nを求めよ。ただし、,およびであることを用いてもよい。


解答 立ったり座ったりするうちにブランコの振れ幅がだんだん大きくなることを考察しよう、という問題です。

T() 1-1で、支点Oと運動開始時点の質点Pの高さの差は、です。質点Pの力学的エネルギーは位置エネルギーのみで、点Pの方が下なので、 ......[]
() 角度θにおける力学的エネルギーは、運動エネルギーが,位置エネルギーが,よって、 ......[]

U(1) Aが飛び降りる前後での運動量保存より、
 ∴ ......[]

(2) Aが飛び降りてからに着地するまでの時間をt とすると、鉛直方向は自由落下で、 ∴
水平方向は等速運動で、 ・・・@
解答はを使わずに答えるので、を求めておく必要があります。運動開始時点と
Aが飛び降りる時点との力学的エネルギー保存より、
 ∴
@に代入して、
.......[]
数値代入すると、
......[]

V(1) 人が立ち上がった直後と角度で静止した時点との力学的エネルギー保存より、

 (問題文の近似を利用)
......[] ・・・A

(2) 問題文の面積速度一定より、 ∴  ・・・B
運動開始時点とOPの変化直前との力学的エネルギー保存より、

A,Bより、
......[]

(3) (2)の結果で、より、,従って、を最大とするは、 ......[],そのときのは、 ......[]

(4) n回目のサイクルではにおいて立ち上がるので、(3)の結果で、,また、として、
は、初項,公比の等比数列で、 ......[]

(5)
(4)の結果でとして、両辺の対数をとると、
より、

よって、 ......[]



   東大理系物理TOP   物理TOP   TOPページに戻る

各問題の著作権は出題大学に属します。
©2005-2021
(有)りるらる
苦学楽学塾 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元