微分法の方程式への応用(2) 関連問題
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例1．
の解の個数がaの値によりどう変化をするかを調べる。
[解法1] 方程式を、
と
の連立方程式と見て、双方のグラフを調べます。
のグラフは、原点を通る傾きaの直線です。傾きaを変化させでみます。
の場合には、原点を通る傾き負の直線と
は第2象限で交わります。
従って、解は1個です。
の場合には、
は単調増加かつグラフは下に凸なので、傾きaを大きくしていくと、aが小さいうちは曲線の下を直線が通過するのに、やがて、直線が曲線に接するようになり、さらにaを大きくすると、直線と
が2交点をもつようになります。
直線
が
に接するときを調べます。
の導関数は、の導関数は、
より、
における接線の方程式は、
これが原点を通るとき、
∴ 
このとき接線の傾きはe
従って、
のときは、直線と
は交わらず、解は0個。
のときは、直線と
が接するので、解は1個。
のときは、直線と
は2交点もつので、解は2個。
のとき1個、
のとき0個、
のとき1個、
のとき2個。......[答]
[解法2] 定数の分離という技巧を用います。ここでは、定数aを分離するために、与方程式をxで割ります。xで割るときに、
という解があるかも知れない、という点に注意します。
与方程式に、
を代入しても成り立たないので、
は解ではありません。よって、xで割ると、
という形の方程式になりますが、これを、
と
との連立方程式と見れば、
のグラフはx軸に平行な直線で、これと
のグラフの交点の数を考えるのは容易です。
，
，
より、増減表は以下の通りで、
のグラフは右図。
グラフより、
のとき1個、
のとき0個、
のとき1個、
のとき2個。......[答]
定数を分離することにより、グラフはやや複雑になりますが、解の個数を数えやすくなります。
例2．方程式：
(
)の解の個数は、
，
の連立と見ると、
，
，
であり、
において、
，
で、ともに単調減少ですが、
，
より、
は下に凸、
は上に凸なので、
にも、
となるαが存在すると断定できます。
従って、解の個数は2個です。
しかし、以下のように、ある区間で凹凸まで一致してしまう場合には、精密に調べる必要が出てきます。
例3．方程式：
(
)の解の個数を調べます。
，
の連立と見ると、
，
において、
，
で、ともに単調増加。
，
で、ともに上に凸です。
このような場合には、
において、解の有無を単純に考えることはできません。右図のように、2つのグラフが絡み合うような可能性があるからです。
この問題では、
を丁寧に調べる必要があります。
なので、
は、
の範囲にただ1つの解をもちます。これをαとします。
の増減表は、
増減表より、
において、
なので、
は単調減少です。
より、
です。
では、
なので、
は単調増加です。
，
より、
は、
の範囲にただ1つの解をもちます。これをβとします。
の増減表は、
増減表より、
において、
です。
よって、
は、
の範囲に、0と
の2個の解をもちます。
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