複素数の図形的応用　　　関連問題


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複素数の図形的応用を考えます。
[例1]　なす角：異なる3点，，に対し、です。
，，に対し、を求めます。


よって、

[例2]　直角二等辺三角形の条件：3点，，が、，となる直角二等辺三角形をなす条件を求めます。
より，より
より、 ⇔
よって、

[例3]　正三角形の条件：3点，，が正三角形をなす条件を求めます。
AB=BCかつであることが条件です。すなわち、より、
とおくと、　∴
よって、より、
をかけて、
展開して整理すると、

[例4]　一直線上にある条件：異なる3点，，が一直線上にある条件を求めます。
A，B，Cがこの順に一直線上に並ぶとき，B，A，Cがこの順に一直線上に並ぶとき
これより、 ⇔ は実数 ⇔
分母を払って、
展開して整理すると、

[例5]　平行条件・垂直条件：異なる4点，，，に対して、
・AB // CD ⇔ が実数 ⇔
・AB ⊥ CD ⇔ ⇔ が純虚数 ⇔

[例6]　線対称な点：原点Oと点を結ぶ直線に関して点と対称な点を求めます。
，として、直線OP，α，βを原点Oの回りに反時計回りに角回転させると、実軸、，に来ますが、実軸に関して対称な点は互いに共役な複素数になるので、

両辺にrをかけて、より、　∴
例えば、原点Oと点Pを結ぶ直線に関して点Aと対称な点Bを求めると、，として、

よって、B

[例7]　円： ()を満たすzは、αを中心とする半径rの円周を描きます。
という形の式があるとき、まず、でくくると、
さらにでくくれるように変形して、
　∴
この式は、のとき、αを中心とする半径の円周を描きます。
例えばとして、点までの距離と点

[例8]　変換：単位円上の点が、変換 (は複素数)　･･･①　によって移る図形を求めます。とします。
①をzについて解くと、，　∴
に代入すると、　∴　
この式は、点wと点との距離と、点wと点αとの距離の比が1：であることを意味します。
・のとき、点wは、点と点αの垂直二等分線上の点になります。
・のとき、点wは、点と点αを1：の比に内分する点と1：の比に外分する点を直径の両端とする円(アポロニウスの円)周上の点になります。



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