剰余類 関連問題
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整数nを自然数mで割るとき、商がs，余りがrだとします。
です。
ここで、余りrはm以上にはならず、
のどれかです。
つまり、整数の集合をZ，mで割ったとき、余りが0となる整数の集合を
，余りが1となる整数の集合を
，･･･，余りが
となる整数の集合を
とすると、
，
，･･･，
のどの2つ
，
(
，
，
)をとっても、
であるとともに、
です。
この性質により、全ての整数をm通りに分類することができます。全ての整数に関する性質であっても、全ての整数に対して考える必要はなく、m通りの分類について考えれば十分です。
[例1] 3個の整数x，y，zに対して、
が成り立つとき、x，yのどちらかは3で割りきれることを証明します。
全ての整数は、3で割った商をs，余りをr (
)として、
の形に書けます。
として、
のとき
，
のとき
のとき
で
つまり、
を3で割ると、2余るということはありません。
，
についても3で割ると2余ることはありません。
x，yがともに3で割り切れないと仮定すると、
も
もともに3で割ると1余るので、
を3で割ると2余ります。これは、
は3で割ると2余ることがない、ことに矛盾します。よって、x，yがともに3で割り切れない、とした仮定は誤りで、x，yのどちらかは3で割りきれます。 (証明終)
[例2] 整数の3乗、あるいは、整数の3乗に1を加えるか引くかした整数のいずれかは9で割りきれることを証明します。
整数を、3で割った商をs，余りをr (
)として、
と書くと、
のとき、
なので、
は9で割り切れます。
のとき、
なので、
は9で割り切れます。
のとき、
なので、
は9で割り切れます。
これで全ての場合を尽くしました。 (証明終)
nを自然数mで割って余りがrであることを、
と表す(「nはmを法としてrと合同である」と読みます)記法があります。これを合同式と言います。答案を簡潔に書くのに便利です。なお、rは
に限りません。
⇔ 
はmの倍数
です。
，
，
，
，すべて正しい合同式です。sを整数として、
⇔ 
⇔ 
です。なお、合同式には、以下の性質があります。
，
，kを自然数とするとき、
，
，
，
･･･(＊)
合同式を用いて、[例1]を証明すると、
のとき、
のとき、
のとき、
x，yがともに3で割り切れないと仮定すると、
，または、
ですが、このとき、
同様に、
，
となりますが、
とはなり得ず、
が成立しません。よって、仮定は誤りで、x，yのどちらかは3で割りきれます。 (証明終)
のように、簡潔に答案を書くことができます。
[例2]のように、mod.3とmod.9が両方出てくる場合には、(＊)のようには行かないので、mod.9に統一して答案を書く必要があります。
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