共通テスト数学IA '21年第1問
[1] cを正の整数とする。xの2次方程式
･･･①について考える。
(1) 
のとき、①の左辺を因数分解すると であるから、①の解は
である。
(2) 
のとき、①の解は であり、大きい方の解をαとすると
である。また、
を満たす整数mは
である。 (3) 太郎さんと花子さんは、①の解について考察している。
太郎：①の解はcの値によって、ともに有理数である場合もあれば、ともに無理数である場合もあるね。cがどのような値のときに、解は有理数になるのかな。
花子：2次方程式の解の公式の根号の中に着目すればいいんじゃないかな。
①の解が異なる二つの有理数であるような正の整数cの個数は
個である。
[2] 右の図のように、△ABCの外側に辺AB，BC，CAをそれぞれ1辺とする正方形ADEB，BFGC，CHIAをかき、2点EとF，GとH，IとDをそれぞれ線分で結んだ図形を考える。以下において
とする。
(1) 
，
，
のとき、
であり、△ABCの面積は
，△AIDの面積は
である。 (2) 正方形BFGC，CHIA，ADEBの面積をそれぞれ
，
，
とする。このとき、
は、 ・
のとき、
。 ・
のとき、
。 ・
のとき、
。 
～
の解答群(同じものを繰り返し選んでよい。)
0である。
正の値である。
負の値である。
正の値も負の値もとる。(3) △AID，△BEF，△CGHの面積をそれぞれ
，
，
とする。このとき、
である。 
の解答群 a，b，cの値に関係なく、
(4) △ABC，△AID，△BEF，△CGHのうち、外接円の半径が最も小さいものを求める。
のとき、ID
BCであり(△AIDの外接円の半径)
(△ABCの外接円の半径) であるから、外接円の半径が最も小さい三角形は
・
のとき、
である。 ・
のとき、
である。 
，
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
，
の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
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解答 この問題を正確かつ迅速に仕上げないと、第2問以降の圧倒的迫力に茫然自失することになります。[2](4)は図をきちんと書けば答がわかってしまう？
ア 2 イ 5 ウ 2 ......[答]
エ 5 オカ 65 キ 4 ......[答]
大きい方の解αは、
ク 5 ケコ 65 サ 2 ......[答]
より
よって、
を満たす整数mは、
シ 6 .....[答] (3) 会話の中のヒントに書かれていますが、解の公式の根号内(判別式)に着目します。判別式Dは、
異なる二つの有理数解を持つ、ということは、異なる二つの実数解をもつので、
より
，cは正の整数なので、
に限られます。このうち、有理数解となるためにDが平方数になるのは、
のとき
，
のとき
，
のとき
の3個です。
ス 3 ......[答]
セ 4 ソ 5 ......[答]△ABCの面積は、
タチ 12 ......[答]
より、△AIDの面積は、
ツテ 12 ......[答] (2) 余弦定理より、
のとき、
より、
のとき、
とり、
のとき、
より、
ト 2 ナ 0 ニ 1 ......[答](3) △ABCの外接円の半径をRとして、正弦定理より、
∴ 
，
，
(1)で見たように、
などにより、 よって、a，b，cの値に関係なく
ヌ 3 ......[答] (4) 余弦定理より、
においては
より、
･･･②
△AID，△ABCの外接円の半径は、正弦定理より、それぞれ、
，
です。よって②より、(△AIDの外接円の半径)＞(△ABCの外接円の半径)
ネ 2 ノ 2 ......[答]
より、
，
，
②と同様に、
，
(△BEFの外接円の半径)＞(△ABCの外接円の半径)
(△CGHの外接円の半径)＞(△ABCの外接円の半径)
外接円の半径が最も小さい三角形は、△ABCです。
ハ 0 ......[答]
のとき、
，
なので、②と同様に、
，
，よって、 (△AIDの外接円の半径)＞(△ABCの外接円の半径)
(△BEFの外接円の半径)＞(△ABCの外接円の半径)
一方、余弦定理より、
なので、
，△ABC，△CGHの外接円の半径は、正弦定理より、それぞれ、
，
(△ABCの外接円の半径)＞(△CGHの外接円の半径)
外接円の半径が最も小さい三角形は、△CGHです。
ヒ 3 ......[答]
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，
，
，
，
ならば、
ならば、
かつ
のとき、①は、
∴ 
のとき、①は、
∴ 
より
，よって、
