　共通テスト数学IA '21年第2問　

[1]　陸上競技の短距離100m走では、100mを走るのにかかる時間(以下、タイムと呼ぶ)は、1歩あたりの進む距離(以下、ストライドと呼ぶ)と1秒あたりの歩数(以下、ピッチと呼ぶ)に関係がある。ストライドとピッチはそれぞれ以下の式で与えられる。

ただし、100mを走るのにかかった歩数は、最後の1歩がゴールラインをまたぐこともあるので、小数で表される。以下、単位は必要のない限り省略する。
例えば、タイムが10.81で、そのときの歩数が48.5であったとき、ストライドは

より約2.06，ピッチは

より約4.49である。
なお、小数の形で解答する場合は、解答上の注意にあるように、指定された桁数の一つ下の桁を四捨五入して答えよ。また、必要に応じて、指定された桁まで

にマークせよ。

(1) ストライドをx，ピッチをzとおく。ピッチは1秒あたりの歩数、ストライドは1歩あたりの進む距離なので、1秒あたりの進む距離すなわち平均速度は、xとzを用いて

(m/秒)と表される。

と表されるので、

が最大になるときにタイムが最もよくなる。ただし、タイムがよくなるとは、タイムの値が小さくなることである。

の解答群

(2) 男子短距離100m走の選手である太郎さんは、①に着目して、タイムが最もよくなるストライドとピッチを考えることにした。

また、ストライドとピッチにはそれぞれ限界がある。太郎さんの場合、ストライドの最大値は2.40，ピッチの最大値は4.80である。
太郎さんは、上の表から、ストライドが0.05大きくなるとピッチが0.1小さくなるという関係があると考えて、ピッチがストライドの1次関数で表されると仮定した。このとき、ピッチzはストライドxを用いて

と表される。
②が太郎さんのストライドの最大値2.40とピッチの最大値4.80まで成り立つと仮定すると、xの値の範囲は次のようになる。

とおく。②を

に代入することにより、yをxの関数として表すことができる。太郎さんのタイムが最もよくなるストライドとピッチを求めるためには、

の範囲でyの値を最大にするxの値を見つければよい。このとき、yの値が最大になるのは

のときである。
よって、太郎さんのタイムが最もよくなるのは、ストライドが

のときであり、このとき、ピッチは

である。また、このときの太郎さんのタイムは、①により

である。

については、最も適当なものを、次の

～

のうちから一つ選べ。

[2]　就業者の従事する産業は、勤務する事業所の主な経済活動の種類によって、第1次産業(農業、林業と漁業)、第2次産業(鉱業、建設業と製造業)、第3次産業(前記以外の産業)の三つに分類される。国の労働状況の調査(国勢調査)では、47の都道府県別に第1次、第2次、第3次それぞれの産業ごとの就業者数が発表されている。ここでは都道府県別に、就業者数に対する各産業に就業する人数の割合を算出したものを、各産業の「就業者数割合」と呼ぶことにする。

(1) 図1は、1975年度から2010年度まで5年ごとの8個の年度(それぞれを時点という)における都道府県別の三つの産業の就業者数割合を箱ひげ図で表したものである。各時点の箱ひげ図は、それぞれ上から順に第1次産業、第2次産業、第3次産業のものである。

～

のうち、図1から読み取れることとして正しくないものは

と

である。

と

の解答群(解答の順は問わない。)

　第1次産業の就業者割合の四分位範囲は、2000年度までは、後の時点になるにしたがって減少している。

　第1次産業の就業者割合について、左側のひげの長さと右側のひげの長さを比較すると、どの時点においても左側の方が長い。

　第2次産業の就業者数割合の中央値は、1990年度以降、後の時代になるにしたがって減少している。

(2)　(1)で取り上げた8時点の中から5時点を取り出して考える。各時点における都道府県別の、第1次産業と第3次産業の就業者数割合のヒスとグラムを一つのグラフにまとめてかいたものが、次ページの五つのグラフである。それぞれの右側の網掛けしたヒスとグラムが第3次産業のものである。なお、ヒスとグラムの各階級の区間は、左側の数値を含み、右側の数値を含まない。

，

については、最も適当なものを、次の

～

のうちから一つずつ選べ、ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

(3) 三つの産業から二つずつを組み合わせて都道府県別の就業者数割合の散布図を作成した。図2の散布図群は、左から順に1975年度における第1次産業(横軸)と第2次産業(縦軸)の散布図、第2次産業(横軸)と第3次産業(縦軸)の散布図、および第3次産業(横軸)と第1次産業(縦軸)の散布図である。また、図3は同様に作成した2015年度の散布図群である。

下の(I)，(II)，(III)は、1975年度を基準としたときの、2015年度の変化を記述したものである。ただし、ここで「相関が強くなった」とは、相関係数の絶対値が大きくなったことを意味する。

(I)　都道府県別の第1次産業の就業者数割合と第2次産業の就業者数割合の間の相関は強くなった。

(II)　都道府県別の第2次産業の就業者数割合と第3次産業の就業者数割合の間の相関は強くなった。

(III)　都道府県別の第3次産業の就業者数割合と第1次産業の就業者数割合の間の相関は強くなった。

(4)　各都道府県の就業者数の内訳として男女別の就業者数も発表されている。そこで、就業者数に対する男性・女性の就業者数の割合をそれぞれ「男性の就業者数割合」、「女性の就業者数割合」と呼ぶことにし、これらを都道府県別に算出した。図4は、2015年度における都道府県別の、第1次産業の就業者数割合(横軸)と、男性の就業者数割合(縦軸)の散布図である。

各都道府県の、男性の就業者数と女性の就業者数を合計すると就業者数の全体となることに注意すると、2015年度における都道府県別の、第1次産業の就業者数割合(横軸)と、女性の就業者数割合(縦軸)の散布図は