共通テスト数学IA '21年第4問
円周上に15個の点
，
，･･･，
が反時計回りに順に並んでいる。最初、点
に石がある。さいころを投げて偶数の目が出たら石を反時計回りに5個先の点に移動させ、奇数の目が出たら石を時計回りに3個先の点に移動させる。この操作を繰り返す。例えば、石が点
にあるとき、さいころを投げて6の目が出たら石を点
に移動させる。次に、5の目が出たら点
にある石を点
に移動させる。 (1) さいころを5回投げて、偶数の目が
回、奇数の目が
回出れば、点
にある石を点
に移動させることができる。このとき、
，
は、不定方程式
の整数解になっている。 (2) 不定方程式
･･･①のすべての整数解x，yは、kを整数として
，
と表される。①の整数解x，yの中で、、
を満たすものは 
，
である。したがって、さいころを
回投げて、偶数の目が
回、奇数の目が
回出れば、点
にある石を点
に移動させることができる。 (3) (2)において、さいころを
回より少ない回数だけ投げて、点
にある石を点
に移動させることはできないだろうか。 (＊) 石を反時計回りまたは時計回りに15個先の点に移動させると元の点に戻る。
(＊)に注意すると、偶数の目が
回、奇数の目が
回出れば、さいころを投げる回数が
回で、点
にある石を点
に移動させることができる。このとき、
である。 (4) 点
，
，･･･，
のうちから点を一つ選び、点
にある石をさいころを何回か投げてその点に移動させる。そのために必要となる、さいころを投げる最小回数を考える。例えば、さいころを1回だけ投げて点
にある石を点
へ移動させることはできないが、さいころを2回投げて偶数の目と奇数の目が1回ずつ出れば、点
にある石を点
へ移動させることができる。したがって、点
を選んだ場合には、この最小回数は2回である。 点
，
，･･･，
のうち、この最小回数が最も大きいのは点
であり、その最小回数は
回である。
の解答群
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
解答 (4)は満点を取らせないように、という趣旨なのかも知れません。14個の点全部について、反時計回り、時計回りで最小回数を調べるのではとても時間が足りません。最小回数5回の点があることは(3)まででわかるので、逆に5回以下でどの点に行けるかを調べることにします。
(1) 不定方程式
の解の一つが
，
であることは、
なので、
と数値代入すればすぐにわかります。 ア 2 イ 3 ......[答]
(2) 
･･･① 
･･･②①－②より、
は3の倍数なので、kを整数として、
とおけます。このとき、
，よって、
，
･･･③ウ 3 エ 5 ......[答]
より、
，
より、
③に代入して、
，
オ 4 カ 4 ......[答]さいころを投げる回数は、
キ 8 ......[答]さいころを8回投げて、偶数の目が4回、奇数の目が4回出ると、
から反時計回りに8進んで
に来ます。 (3) 
から時計回りに7進むと
に来ます。そこで①の右辺の8を
にした不定方程式を考えます。 
･･･④
･･･⑤④－⑤より、
は3の倍数なので、lを整数として、
とおけます。このとき、
，よって、
，
，
偶数の目が1回、奇数の目が4回、合わせて5回さいころを降ると、
から時計回りに7進んで
に来ます。
ク 1 ケ 4 コ 5 ......[答] (4) (2)，(3)と同様に、mを
を満たす整数として、
という不定方程式を考えるのでは、とても時間内にやりきることはできません。(3)で
に行くのであれば最小回数が5になるので、さいころを振る回数が5以下でどの点に行けるかを調べることにします。
として、
の値を調べると、以下の表のようになります。 | x | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 |
| y | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 0 | 1 | 2 | 3 |
 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 2 | 3 | 4 | 5 |
 | 0 |  |  |  |  |  | 5 | 2 |  |  |  | 10 | 7 | 4 | 1 |
| 行先 |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
この時点で
だけ残るので、試験会場で
にマークしても良いかも知れませんが、ここでは確かめて起きます。
不定方程式
･･･⑥
･･･⑦⑥－⑦より、
mを整数として、
とおくと、
，よって、 
，
とすると、
，
，
，
さいころを9回振って、偶数の目が5回、奇数の目が4回出ると、反時計回りに13進んで
に来ます。
不定方程式
･･･⑧
･･･⑨⑧－⑨より、
nを整数として、
とおくと、
，よって、 
，
とすると、
，
，
，
さいころを6回振って、偶数の目が2回、奇数の目が4回出ると、時計回りに2進んで
に来ます。
以上より、
に来るためにさいころを振る最小回数は6です。
以外は最小回数は5以下なので、最小回数が最も大きいのは
で、その最小回数は6サ 3 シ 6 ......[答]
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
数学TOP TOPページに戻る
【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。
各問題の著作権は
出題大学に属します。©2005-2024(有)りるらる 苦学楽学塾 随時入会受付中！理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールを
お送りください。 
に
，
を代入した式、
の両辺に8をかけて、
とすると、
，
より、
