共通テスト数学IA '21年第5問
の二等分線と辺BCとの交点をDとすると
,![](ctmIA215.files/Eqn006.gif)
である。
また、
の二等分線と△ABCの外接円Oとの交点で点Aとは異なる点をEとする。△AECに着目すると、 である。
△ABCの2辺ABとACの両方に接し、外接円Oに内接する円の中心をPとする。円Pの半径をrとする。さらに、円Pと外接円Oとの接点をFとし、直線PFと外接円Oとの交点で点Fとは異なる点をGとする。このとき、
,![](ctmIA215.files/Eqn010.gif)
と表せる。したがって、方べきの定理により
である。
△ABCの内心をQとする。内接円Qの半径は
で、
である。また、円Pと辺ABとの接点をHとすると、
である。
以上から、点Hに関する次の(a),(b)の正誤の組み合わせとして正しいものは
である。 (a) 点Hは3点B,D,Qを通る円の周上にある。
(b) 点Hは3点B,E,Qを通る円の周上にある。
の解答群
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解答 センター試験の平面図形の問題と変わり映えしません。途中、解答欄の形からエによってキ、ク、ス、またケは答がわかってしまいます。根号内の整数が1種類にならないように、など、出題者には、もう一段の工夫を望みたいところです。
ADが
の二等分線であることから、AB:AC = BD:DC = 3:5
よって、![](ctmIA215.files/Eqn018.gif)
ア 3 イ 2 ......[答]
三平方の定理より、![](ctmIA215.files/Eqn019.gif)
ウ 3 エ 5 オ 2 ......[答]
(直径の上に立つ円周角),
より、△ABD ∽ △AEC ∴ AB:AD = AE:AC
カ 2 キ 5 ......[答]
HP // BDより、AP:PH = AD:BD =
:
=
:1
より、![](ctmIA215.files/Eqn027.gif)
ク 5 ......[答]
点Fは、円Pと外接円Oとの接点なので、FGは外接円Oの直径で、![](ctmIA215.files/Eqn028.gif)
よって、![](ctmIA215.files/Eqn029.gif)
ケ 5 ......[答]
一方、方べきの定理より、![](ctmIA215.files/Eqn030.gif)
,
より
よって、
∴ ![](ctmIA215.files/Eqn036.gif)
コ 5 サ 4 ......[答]
内接円Qの半径をRとして、
△ABC = △ABQ+△BCQ+△CAQ
∴ ![](ctmIA215.files/Eqn038.gif)
シ 1 ......[答]
内接円Qと辺ABとの接点をKとすると、△AKQ ∽ △ABD
∴ ![](ctmIA215.files/Eqn039.gif)
ス 5 ......[答]
![](ctmIA215.files/Eqn040.gif)
セ 5 ソ 2 ......[答]
従って、AH:AQ = AD:AB,
より、△AHQ ∽ △ADB
より、四角形BDQHは円に内接する四角形です。一方、Q,D,Eは一直線上に存在するため(円と直線が異なる3点で交わることはない)、四角形BEQHは円に内接しません。
タ 1 ......[答]
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