センター数学IIB '06年第4問
平面上の三つのベクトル
，
，
は
を満たし、
は
に垂直で、
であるとする。
(1) 
と
の内積は
である。また
であり、
と
のなす角は
である。
(2) ベクトル
を
と
で表すと
である。
(3) x，yを実数とする。ベクトル
が
，
を満たすための必要十分条件は
，
である。xとyが上の範囲を動くとき、
は最大値
をとり、この最大値をとるときの
を
と
で表すと
である。
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解答 
∴ 
よって、[アイ]は
，[ウ]は2
∴ 
よって、[エ]は3
と
のなす角は
よって、[オカ]は90
とおいて、
より
だから、
∴ 
∴ 
･･･① より、
だから、
，
∴ 
よって、[キ]は3，[ク]は3，[ケ]は2
より、
･･･②
①を用いて、
より、
より、
∴ 
･･･③
よって、[コ]は0，[サ]は1，[シ]は3，[ス]は2
②，③の条件下(領域は右図のような平行四辺形です)でyが最大になるのは、
，
のときで、最大値は
このとき、
よって、[セ]は3，[ソ]は2，[タ]は2
上のように計算でやっても良いのですが、
という条件から、
の終点が
と
を2辺とする平行四辺形の頂点になることを考えれば、右図のような図が書けます。
より、
，
，
が
の
、
，
への正射影だと考え、
より、
の方向にx軸，
の方向にy軸をとれば、
の終点Pの座標は
です。
点Pの存在範囲は右図斜線部で、
，
などから、(3)もほとんど図を見ているだけで答えることができます。
センター試験の準備は、教科書の基礎事項をしっかりマスターし、ある程度、センター用の練習問題を解いたら、東京出版「センター試験必勝マニュアル 数学IIB」(9月頃発売になります)を一通り読んでおきましょう。
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