共通テスト数学IIB '21年第4問
初項3，公差pの等差数列を
とし、初項3，公比rの等比数列を
とする。ただし、
かつ
とする。さらに、これらの数列が次を満たすとする。 
(
) ･･･①(1) pとrの値を求めよう。自然数nについて、
，
，
はそれぞれ と表される。
により、すべての自然数nについて、
となる。
であることから、①の両辺を
で割ることにより 
･･･④が成り立つことがわかる。④に②と③を代入すると
･･･⑤となる。⑤がすべてのnで成り立つことおよび
により、
を得る。さらに、このことから、
を得る。
以上から、すべての自然数nについて、
と
が正であることもわかる。 (2) 
，
であることから、
，
の初項から第n項までの和は、それぞれ次の式で与えられる。 (3) 数列
に対して、初項3の数列
が次の満たすとする。 
(
) ･･･⑥
が正であることから、⑥を変形して、
を得る。
さらに、
であることから、数列
は
ことがわかる。
の解答群
すべての項が同じ値をとる数列である
公差が0でない等差数列である
公比が1より大きい等比数列である
公比が1より小さい等比数列である
等差数列でも等比数列でもない(4) q，uは定数で、
とする。数列
に対して、初項3の数列
が次を満たすとする。 
(
) ･･･⑦
であることから、⑦を変形して、
を得る。したがって、数列
が、公比が0より大きく1より小さい等比数列となるための必要十分条件は、
かつ
である。
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解答 等差数列、等比数列の基本問題で悩むところはないでしょう。
(
) ･･･①(1) 
(
) ･･･② ア 3 イ 3 ......[答]①を
で割ると、
，
･･･④ウ 2 エ 3 ......[答]
④に②，③を代入すると、
･･･⑤オ 2 カ 6 キ 6 ......[答]⑤がすべてのnで成り立つために、nの係数は0，
より、
∴ 
ク 3 ......[答]これより、
，
(2) 
ケ 3 コ 2 サ 1 シ 3 ス 1 ......[答]
(3) 
･･･⑥ 
より、
数列
は公比が1より小さい等比数列です。
セ 4 ソ 3 タ 2 .......[答]
で割ると、
より、
∴ 
チ 2 ......[答]数列
が、公比が0より大きく1より小さい等比数列となるための必要十分条件は、
かつ
ツ 2 テ 0 ......[答]
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･･･②
･･･③
･･･③
(
)
，
(
) ･･･⑦