内分・外分
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右上図において、線分AB上に点Cがあり、AC：CB = m：nであるとき、点CをABをm：nに内分する点と言います。
右下図において、直線AB上に点C (右下図では、線分ABのB側への延長上にCがあるように描かれています)があり、AC：CB = m：nであるとき、点CをABをm：nに外分する点と言います。右下図では、
です。
の場合には、ABをm：nに外分する点は、線分ABのA側への延長上にきます。
右の左図で、三角形ABCにおいて
だとすると、AD：DB = AE：ECです。AD：DB = m：nであれば、点Dは線分ABをm：nに内分する点であり、点Eは線分ACをm：nに内分する点です。
右の右図で、線分ABのA側の延長上に点D，線分ACのA側の延長上に点Eをとり
だとすると、AB：AD = AC：AEです。AB：AD = m：nであれば、点Aは、線分BDをm：nに内分する点であり、線分CEをm：nに内分する点です。
また、点Dは線分BAを
：nに外分する点で、点Eは線分CAを
：nに外分する点です。
定理：三角形ABCの
の二等分線は、辺BCを、AB：ACに内分する。
[証明] 頂点Cを通りDAに平行な直線と直線BAの交点をPとすると、
(錯角)，
(同位角)と
より
であり、三角形APCは二等辺三角形で、AC = AP，従って、
より、BD：DC = BA：AP = BA：AC (証明終) この定理により、右上図でAB：AC = m：nとして、
の二等分線と辺BCの交点Dは、辺BCをm：nに内分する点です。また、この定理の逆も成立します。
定理：
である三角形ABCの
の外角の二等分線は、辺BCを、AB：ACに外分する。
[証明] 
とします。線分BAのA側への延長上に点Xをとる。頂点Cを通りDAに平行な直線と辺BAの交点をPとすると、
(錯角)，
(同位角)と
より
であり、三角形APCは二等辺三角形で、AC = AP，従って、
より、BD：DC = BA：AP = BA：AC (証明終) この定理により、右下図でAB：AC = m：nとして、
の外角の二等分線と直線BCの交点Dは、辺BCをm：nに外分する点です。また、この定理の逆も成立します。
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