東北大理系数学'08年前期[1]
多項式
について、次の条件(i)，(ii)，(iii)を考える。
このとき、以下の問いに答えよ。
(1) 条件(i)をみたす多項式
の次数は4以下であることを示せ。
(2) 条件(i)，(ii)，(iii)をすべてみたす多項式
を求めよ。
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解答 多項式というのは、文字をかけ合わせたり足し合わせたりしてできる式であって、「次数」は文字を何個かけているか、という数、つまり、0以上の整数になります。単に“多項式
”と言う場合は、各項で文字を2個かけているので、2次の多項式ですが、“
”と言う場合は、xに着目しているので、
の中に
という項があるときには、かけれらているxの個数の4を次数とします。
(1) nを0以上の整数とし、
の中にn次の項があって、
が含まれるとします。この
のxに
を代入すると、
の中に
が出てきます。また、
には
という項が出てきます。 
がxの多項式であるためには、
内の各項のxの指数は0以上の整数でなければなりません。
∴ 
即ち、
には4次までの項しか含まれないので、
の次数は4以下です。
(2) (1)より
は4次の多項式なので、 とおけます。
条件(i)より、
これが恒等式となるために、
，
･･･①これと、条件(iii)より、
∴ 
･･･②
条件(ii)において、
とすると、
①より、
･･･③
②に代入して、
･･･④
条件(ii)において、
とすると、
①，③，④より、 ∴ 
∴ 
④より、
①より、
これらと③より、
･･･⑤
この
は、 より、条件(ii)をみたします。
......[答]
追記．上記の⑤で
は求まるのですが、ここで即、「答え」とやってはいけません。
上記では、条件(i)についてはすべてのx，(iii)については
の場合について確認できていますが、条件(ii)は、そうではありません。bを求めるために、条件(ii)において、
，
としてみただけで、他のxの値について、本当に
が満たされるのか、確認されていないのです。
言い換えると、条件(ii)をみたすための必要条件が“
”となった(条件(ii)⇒“
”)だけであって、“
”が条件(ii)のための十分条件であること(“
”⇒条件(ii))が確認されていません。そこで、⑤以下で実際に
を計算して確認する必要がありました。
必要性、十分性は、センター試験の頻出テーマですが、理解不十分なために、センター試験会場で鉛筆を倒して解答した、という話をよく聞きます。
「必要条件」というのは、要求を満たすために最低限必要な条件(ゆるい条件)であり、「十分条件」というのは、これであれば要求は完全に満たされるという条件(厳しい条件)です。
「必要条件」を求めただけでは、得られた答が全部条件に適しているか怪しい、「十分条件」を求めただけでは、得られた答は確かに条件を満たすが他にも答があるかも知れない、と思うようにしましょう。「必要十分条件」を求める、ということは、これらの答はすべて要求を満たしていて、他には答はない、という解答を求める、ということです。
「必要条件」、「十分条件」という言葉の意味をしっかり理解しておきましょう。なお、条件・命題を参照してください。
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