東北大理系数学'10年後期[1]
nを2以上の自然数とする。
は
，
を満たす実数とする。
は
を任意に並べ替えたものとするとき、
が成り立つことを示せ。また、等号が成り立つのはどのようなときか答えよ。
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解答 数学的帰納法に持ち込む部分に一工夫必要な問題です。なお、'87年東大理系[5]で、
，
として
を証明する問題が出題されています。
(Ⅰ) 
のとき、 (ii) 
，
のときには、 (i)，(ii)より、
与不等式は成り立ち、等号成立は、(i)より、
(
)のときです。 (Ⅱ) 
のとき、与不等式が成り立つと仮定します。つまり、 
･･･①が成り立ち、また、等号成立は、
(
)のとき、と仮定します。 (i) 
のとき、 ①の両辺に、
を加えることにより、 
･･･②が成り立ち、等号成立は、
(
)のときです。 (ii) ①のm項からなる数列
において
であったものを、新たに
，
(j，kは、
，
，
を満たす整数)として得られる、
項から成る数列
を考えます。これで、
，
，
となる任意の数列
を構成することができます。 
として、①の両辺に、を加えると、右辺は、
の第k項目を元の
から、新たな数列
の項を使ってできる
に入れ替え、さらに
を付加することになるので、
を
となる項を除いた和だとして、 
･･･③ (①の数列
と③の数列
は第k項目が異なることに注意してください)以上より、
･･･④ここで、仮定により、
④の残りの部分は、
よって、④より、
(i)，(ii)より、
が成り立ち、等号成立は、
(
)のときです。
よって、
のときにも与不等式は成立します。 (Ⅰ)，(Ⅱ)より、2以上の自然数に対して、
が成り立ちます。また、等号は、
(
) ......[答] のときに成立します。
⇔ 
･･･⑤です。
が
を任意に並べ替えたものとするとき、
を2個ずつ選んで大きい順になるように並べ替えていくと、有限回(高々
回)の並べ替えで
になります。
そこで、
のうちの2個
，
(j，kは、
を満たす整数)を選んで、
であれば、
，
，
であれば、
，
，他の
(iは、
，
，
を満たす整数)については、
となるようにして、新たな
を作ると、 となることから、⑤が言えます。
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(∵ 
)
，
のときには、
(∵ 
，
)
，
，
となる任意の数列
について、
(
は①の
のことです)
(∵ 
，
)
(∵ 
，
)
，
，
より、
(∵ 
)