金沢大理系数学'11年[4]
次の問いに答えよ。
(1) 自然数nに対して、を求めよ。また
を示せ。
(2) 2以上の自然数nに対して
を示せ。
(3) 2以上の自然数nに対して
を示せ。


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解答　(2)は自然に(1)の利用が浮かぶでしょう。(3)が少し悩むかも知れません。(2)を有効活用することを考えましょう。

(1) ......[答]　(不定積分の公式を参照)
自然数nに対して、において、
この不等式で等号は恒等的には成立せず、
∴
∴

(2) (1)より2以上の自然数nに対して、
　･･･①
に対しては、①の代わりに、
を考えることにします。①でとして、

･･････
辺々加えると(数列の求和技法を参照)、
∴

(3) の各項の分母ですが、となり、指数はで、(2)が使えそうです。(2)の結果より、，よって、
ここで、より、

さらに(2)の結果を用いて、
∴


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