高次の導関数 関連問題
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nを3以上の自然数として、
の導関数を考えます。
です。この右辺の
の導関数を求めると、
となりますが、左辺の
の導関数は、yから2回微分されることになるので、もう一つ、プライム記号をつけて、
と表すことにします。さらに、微分して、
の導関数は、yから3回微分されることになるので、プライム記号を3つつけて表し、
となります。
を第1次(第1階)の導関数、
を第2次(第2階)の導関数、
を第3次(第3階)の導関数と呼びます。
と書くとき、
を
，
，
とも書きますが、
，
です。
4次以上になると、プライム記号の数が多くなるので、
と書いて第4次(第4階)の導関数ということにします。
n回微分すると、
となります。
を第n次(第n階)の導関数と言います。
(
)です。
以下、m，nを自然数として、
(底がeの指数関数は何回微分しても指数関数のまま)
(
とします)
などが言えます。
例．(1) 
(
)として求められる多項式をエルミート多項式と言います。
，
，
，
，･･･
などとなっています。
(2) 
(
)として求められる多項式をルジャンドル多項式と言います。
，
，
，
，･･･
などとなっています。
(1)，(2)とも物理学で登場する重要な多項式です。
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