恒等式の条件
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(1) 
が、任意の実数x，yについて成立する ⇔ 
(2) 
が任意の実数xについて成立する
⇔ 
(3) 
が、任意の実数x，yについて成立する ⇔ 
[証明](1) 
と仮定すると、
となりyの1つの値に対してxの値が1つに確定してしまいます。
これでは、任意の実数x，yについて
が成立するという条件に反します。
∴ 
，
yは0以外の値も取り得るので、
，よって、
逆に、
のとき、明らかに、任意の実数x，yについて、
が成立します。 (証明終)
(2) 
と仮定すると、
･･･① が任意の実数xについて成立するから、相異なる
個の実数
について①が成立します。これは、n次方程式①の相異なる解が高々n個であるという事実に反します。
∴ 
以下、同様にして、
逆に、
のとき、明らかに、任意の実数xについて、
が成立します。 (証明終)
(3) 
をxについて整理すると、
この等式が任意の実数xについて成立するから、
こでが任意の実数yについて成立するから、
逆に、
のとき、明らかに、任意の実数x，yについて、
が成立します。 (証明終)
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