不等式の表す領域 関連問題
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(1) 座標平面上で、
の表す領域は、直線：
より上側の部分
の表す領域は、直線：
より下側の部分
の表す領域は、直線：
から上側の部分(直線上の点を含む)
の表す領域は、直線：
から下側の部分(直線上の点を含む)
(2) 座標平面上で、
の表す領域は、曲線：
より上側の部分
の表す領域は、曲線：
より下側の部分
の表す領域は、曲線：
から上側の部分(曲線上の点を含む)
の表す領域は、曲線：
から下側の部分(曲線上の点を含む)
(2)で、
としたものが(1)なので、(2)を考えます。
の定義域に属するxの値を1つ持ってきて
とします。
x軸に垂直な直線：
上において、
を満たすのは、点
よりも上側の部分です。
逆に、直線：
上において、
よりも上側にある点
は、
を満たします。
従って、座標平面上で、
の表す領域は、曲線：
より上側の部分(曲線：
上は含みません)です。
同様に、
の表す領域は、曲線：
より下側の部分になります。
の表す領域は、曲線：
上の点を含むので、曲線：
から上側の部分になります。
不等式：
の表す領域は、
であれば、
より、直線：
より上側の部分
であれば、
より、直線：
より下側の部分
，
であれば、
より、直線：
より右側の部分
，
であれば、
より、直線：
より左側の部分
不等式：
の表す領域を、直線：
の正領域と言います。
不等式：
の表す領域を、直線：
の負領域と言います。
一般に、
をx，yを含む式として、曲線：
を考えるとき、
不等式：
の表す領域を、曲線：
の正領域と言います。
不等式：
の表す領域を、曲線：
の負領域と言います。
不等式：
の表す領域を座標平面上に図示する問題で、a，bの正負により、領域が直線の上だったり、下だったり、右だったり、左だったりするので、ミスを抑えるために、以下のようにして領域図示を行います。
直線上にない点
を1つ選びます(なるべく簡単な座標を選ぶこと)。
，
を不等式に代入して、
が成り立てば、
は領域内の点です。領域を図示する場合には、直線：
に関して、点
を含む側に斜線を入れます。
が成り立たなければ、
は領域外の点です。直線：
に関して、点
を含まない側に斜線を入れます。
例．
の表す領域を図示します。
を代入すると、
となり、不等式が成立するので、
直線：
に関して
と同じ側が求める領域となります。
図示すると、右図青色斜線部(境界線を含まない)。
一般に、不等式：
の表す領域を図示するのに、曲線：
上にない点
を取ってきて、
，
を不等式に代入したときに、
が成立するなら、点
は領域内の点です。曲線：
に関して、点
を含む側に斜線を入れます。
が成立しないなら、点
は領域外の点です。曲線：
に関して、点
を含まない側に斜線を入れます。
座標平面上で、
の表す領域は、円：
より外側です。
の表す領域は、円：
より内側です。
の表す領域は、円：
から外側です(円周上を含む)。
の表す領域は、円：
から内側です(円周上を含む)。
の表す領域は、円の中心
の座標、
，
を不等式に代入すると成り立たないので、中心を含まない側となり、円：
より外側です。
の表す領域は、
，
を不等式に代入すると成り立つので、中心を含む側となり、円：
より内側です。
複数の多項式(実は、x，yの関係式であれば、多項式でなくてもよい)：
，
，･･･，
の積に因数分解されるような式の正負で表される不等式、例えば、
･･･①
で表される領域を図示するとき(各多項式：
，
，･･･，
は、いずれも正の値も負の値も取り得る多項式だとします)には、以下のように行います。
が境界線を与えます。
まず、境界線：
，
，･･･，
を書き込みます。
各境界線上に来ない点
を1つ選びます。
，
を不等式①に代入します。
が成り立てば、
は領域内の点です。点
を含む領域に斜線を入れます。
が成り立たないときは、
は領域外の点です。点
を含む領域には斜線は入りません。
この後は、ある領域に斜線が入る場合には、境界線を介して隣接する領域には斜線を入れず、
ある領域に斜線が入らない場合には、境界線を介して隣接する領域に斜線を入れます。
結局、市松模様のように、互い違いに斜線が入る感じになります。
不等式：
の表す領域では境界線を含みません。
不等式：
の表す領域では境界線を含みます。
例．不等式：
の表す領域を図示します。
境界線は、
として、
，
，
，
これを、座標平面上に書き込みます(右図、図1)。
境界線上に来ない点を1つ、例えば
を選びます。
，
を不等式に代入します。
となるので、
，
は、与不等式を満たします。
ということは、
は領域内の点です。
を含む領域に斜線を入れます(右図、図2)。
円：
，放物線：
，直線：
，直線：
を介して隣接する領域には斜線は入りません。
以後は、境界線をまたぐごとに、斜線の入る、入らないが互い違いになるように斜線を入れてゆきます。
求める領域は、右図の図3 青色斜線部(境界線は含まない)。
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