不等式の証明 関連問題
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不等式の基本性質：
A，B，C，Dを実数値をとる式とする。
(5) 
(等号は
のときに限り成立する) (6) 
(等号は
のときに限り成立する)
(1)は、Bより大きいものはBより小さいものより大きいということです。
(2)は、ある不等式の両辺に同じものを加えても、同じものを引いても、不等式は成り立つということです。
(3)は、ある不等式の両辺に同じ正数をかけても不等式は成り立つということです。
(4)は、ある不等式の両辺に同じ負数をかけると不等号の向きが逆になるということです。
(5)は、実数の2乗は負にはならないと言っています。
(6)は、実数の2乗を加え合わせたものは負にはならないと言っています。実数の2乗の和が0になるのは、実数が全て0の場合です。
(7)は、0以上の実数同士の大小関係と2乗したものの大小関係は一致するということです。
(8)は、0以下の実数同士の大小関係と2乗したものの大小関係は入れ替わるということです。
いずれも、当然なことですが、証明問題などで発想できるかどうかが鍵になる重要事項です。
絶対値を含む不等式の問題では、
⇔ 
という事実をよく使います。
有名不等式(以下において、a，b，x，yは実数だとする)
(1) 三角不等式：
(2) 相加平均・相乗平均の関係：
(ただし、
かつ
とする。等号は
のときに成立) (3) コーシー・シュワルツの不等式：
[証明](1) 
かつ
のとき、
かつ
のとき、
かつ
のとき、
かつ
のとき、
以上より、
･･･①
ここで、
，
と書き換えると、
∴ 
･･･②
①，②より、
(証明終)
(2) 
より、
(等号成立は、
つまり
のとき) (証明終)
(3) 
(等号成立は
のとき)
(等号成立は
のとき) (証明終)
(4) 
∴ 
(等号成立は
または
のとき) (証明終)
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かつ 
⇒ 
⇒ 
，
かつ 
⇒ 
，
かつ 
⇒ 
，
かつ 
のとき、
⇔ 
かつ 
のとき、
⇔ 
，
のとき、
(等号成立は
または
のとき)