京大理系数学'09年乙[2]
平面上の鋭角三角形
の内部(辺や頂点は含まない)に点Pをとり、
をB，C，Pを通る円の中心、
をC，A，Pを通る円の中心、
をA，B，Pを通る円の中心とする。このときA，B，C，
，
，
が同一円周上にあるための必要十分条件はPが
の内心に一致することであることを示せ。
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解答 十分性：「Pが
の内心」⇒「A，B，C，
，
，
が同一円周上」
の方はすぐですが、
必要性：「A，B，C，
，
，
が同一円周上」⇒「Pが
の内心」
がなかなか厄介です。
必要性を示すときに、Pが内心であることや、A，P，
が一直線上にあることを前提としないように注意しましょう。
が
の二等分線であることは簡単に言えますが、Pが
上には存在しないという仮定(誤りですが)に立って論証するようにします。
また、点Pのまわりで角を考えると、
，
などとうまく結びつかずに考えにくくなります。
をB，C，Pを通る円の中心とする、ということは、
は三角形BCPの外心だと言うことです。外心は各辺の垂直二等分線の交点なので、この垂直二等分線との間にできる角を考えるようにします。
A，B，C，
，
，
が同一円周上にあるとします(この円をDとします)。
三角形ABCの内部の点Pに対して、
B，C，Pを通る円の中心
は、PBの垂直二等分線とPCの垂直二等分線の交点です。
C，A，Pを通る円の中心
は、PCの垂直二等分線とPAの垂直二等分線の交点です。
A，B，Pを通る円の中心
は、PAの垂直二等分線とPBの垂直二等分線の交点です。
円Dについて、
上に立つ円周角は等しいので、
また、三角形
と三角形
は合同なので、
つまり、
また、A、B，Pを通る円について、PBの上に立つ中心角
は円周角
の2倍です。
つまり、
∴ 
･･･①
円Dについて、
上に立つ円周角は等しいので、
また、三角形
と三角形
は合同なので、
つまり、
また、C，A，Pを通る円について、PCの上に立つ中心角
は円周角
の2倍です。
つまり、
∴ 
･･･②
また、三角形
は、
である二等辺三角形なので、
これと、①，②より、
同様にして、
，
よって、点Pは三角形ABCの内心です。
Pが
の内心だとします。
，
です。
また、
を中心とし、B，C，Pを通る円について、PBの上に立つ中心角
は円周角
の2倍です。
同様に、PCの上に立つ中心角
は円周角
の2倍です。
三角形の内角の和はπなので、
よって、対向する頂角が互いに補角をなすので、四角形
は円に内接する四角形です。
同様にして、四角形
，四角形
も円に内接する四角形です。
3つの四角形の外接円は、いずれも三角形ABCの外接円であって同一の円です。
従って、A，B，C，
，
，
は同一円周上にあります。
以上より、A，B，C，
，
，
が同一円周上にあるための必要十分条件は、「Pが
の内心に一致すること」です。
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