京大理系数学'09年甲[5]
pを素数、nを正の整数とするとき、
はpで何回割り切れるか。
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解答 例えば
として考えてみます。
には3が1つ含まれているので、
で1回割り切れます。
の中の3の倍数は3，6，9で、素因数分解したとき、3と6には3が1つ含まれ、9には3が2個含まれるので、
を素因数分解すると3の指数は4になり、
は
で4回割り切れます。
の中の3の倍数は3，6，9，12，15，18，21，24，27で、このうち、3，6，12，15，21，24の中には3が1つ含まれ、素因数分解したとき、9，18の中には3が2個含まれ、27の中には3が3個含まれるので、
を素因数分解すると3の指数は
となり、
は
で13回割り切れます。
つまり、
の場合、1から
までの数の中にpの倍数、
の倍数、
の倍数が何個あるかを調べて行くことになります。
のときの検討を見ると、
の倍数を
の倍数に含め、
の倍数をpの倍数に含めて、1から27の中に、3の倍数が
個，
の倍数が
個，
の倍数が1個あるので、
として、3で13回割り切れる、というように考えられることがわかります。従って、本問では、以下のように解答できるでしょう。
1から
の中に、
(
)の倍数は、
個あります。
を素因数分解したときのpの指数は
，
，･･･，
(
)の和になるので、pで割り切れる回数は、
回 ......[答]
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