京都大学数学過去問集

[1]　α，β，γは，，，を満たすものとする。このとき、の最大値を求めよ。('99後期[2])


[2]　a，mは自然数でaは定数とする。xy平面上の点を頂点とし、原点と点を通る放物線を考える。この放物線とx軸で囲まれる領域の面積を，この領域の内部および境界線上にある格子点の数をとする。このとき極限値を求めよ。ただし、xy平面上の格子点とはその点のx座標とy座標がともに整数となる点のことである。('98前期[4])


[3]　nを3以上の整数とする。円周上のn等分点のある点を出発点とし、n等分点を一定の方向に次のように進む。
各点でコインを投げ、表が出れば次の点に進み、裏が出れば次の点を跳び越しその次の点に進む。
(1) 最初に1周まわったとき、出発点を跳び越す確率を求めよ。
(2) kは2以上の整数とする。周目までは出発点を跳び越し、k周目に初めて出発点を踏む確率をとする。を求めよ。('96前期[6])


[4]　a，bはをみたす自然数とし、p，dは素数でとする。このとき、であるならば、dをで割った余りが1であることを示せ。('95年前期[2])


[5]　a，b，cは実数で，とする。
，
とおく。をみたすすべてのxに対してが成り立つとき、をみたすすべてのxに対してが成り立つことを示せ。('95年後期[3])


[6]　nは0または正の整数とする。を
，，
によって定める。を3で割った余りをとし、
とおく。
(1) ，･･････，を求めよ。
(2) であることを示せ。
(3) が成り立つことを示せ。('94前期[2])


[7]　正4面体の4つの頂点をA，B，C，Dとする。s，tを，を満たす実数とし、
線分ABをs：に内分する点をE，
線分ACをt：に内分する点をF，
線分ADをt：に内分する点をG
とおく。3点E，F，Gを通る平面が、3点B，C，Dを通る円と共有点を持つためにs，tの満たすべき条件を求め、点の範囲を平面上に図示せよ。('94年前期[3])


[8]　aは正の定数とする。不等式
がすべての正の数xに対して成り立つという。このとき、aはどのようなものか。('93後期[4])


[9]　θ はの範囲の角とする。
(1) を満たすθ を求めよ。
(2) m，nを0以上の整数とする。θ についての方程式
が解をもつときのと、そのときの解θ を求めよ。('92年前期[2])


[10]　実数a，b (，)に対し、次の不等式が成り立つことを示せ。
　　　
('91前期[4])


[11]　関数 ()は次の条件①，②を満たしている。
① は微分可能で連続、かつ
② 正の定数aがあって、
(1) ②の等式の両辺をxについて微分して得られる(y，の満たす)関係式を書け。また、の値を求めよ。
(2) 正の定数b，cがあって次の不等式(イ)，(ロ)を満たしていることを示せ。
(イ) 　(ロ)
(3) を求めよ。また、の最小値を求めよ。('91前期[6])


[12]　四面体OABCにおいて、，，はたがいに直交している。となる点Gを通りに直交する平面による四面体OPABCの切り口は、どのような図形か。，，のそれぞれの長さa，b，cの関係により区分して述べよ。
また、，，のとき、その切り口の面積を求めよ。('89年前期[4])


[13]　高さ10mの円錐形の内部をもつタンクがあり、円錐の底面が下側にあって水平であるように置かれている。タンク内の水位(水の深さ)がy m ()のときにはl /分の速度で注水することにする。タンクが空のときに注水を始めて、9時間後に水位が2mになった。タンクに水が一杯になるのは、あと何時間後か。('89年前期[6])


[14]　Ａ，B，Cの3人がいて、それぞれ、赤札と白札を1枚ずつ持っている。この状態から出発して、次のような札の移動を何回か行う。
各回の移動では、AはBに、BはCに、CはAに、持っている2枚の札のうち1枚を無作為に選んで、同時に渡す。
(1) 何回かの移動の後、起こりうる札の状態を全部書き上げ、それらに，，，･･･ というように記号をつけよ。ただし、最初の状態にはをつけよ。
(2) 上で得た各状態から1回の移動でになる確率をそれぞれ求めよ。
(3) 最初の状態からn回移動したとき、の状態にかえっている確率を求めよ。('87年[6])


[15]　同一平面上に2つの三角形△ABC，△があり、それぞれの外接円の半径はともに1であるとする。この2つの外接円の中心を結ぶ線分の中点をM，線分，，の中点をそれぞれP，Q，Rとする。
(1) ，，となることを示せ。
(2) もし△PQRが鋭角三角形でその外接円の半径が1となるならば、点Mはこの外接円の中心と一致することを示せ。さらに、このとき△ABC，△，△PQRはすべて合同となることを示せ。('86年[4])


[16]　b，cは実数とし、の2解をα，β とする。
(1) ，とすれば、いかなる複素数γに対してもとなる実数t，uが存在することを示せ。
(2) とおくとき、次の条件(＊)を満たす点全体の集合Ｄを決定し、図示せよ。
(＊) t，uがともに実数なら、
('85年[3])


[17]　定数c ()に対して、等式がすべてのxについて成り立つとき、関数は周期関数であるといい、またこの等式を満たすような正の数cのうちの最小値をの周期という。
次の関数は周期関数であるか否かを、理由をつけて答えよ。また、周期関数である場合には、その周期を求めよ。
(1)
(2)
(3)
('84年[2])


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