平面と直線 関連問題
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令和3年の数学Ａの教科書には、取って付けたように「空間図形」という項目が入っていますが、数学Ｂの空間ベクトルと同じ扱いで良いと思います。数学Ⅰ・Ａのみが試験範囲の受験生は教科書をよく読んでおいてください。
ここでは、ベクトルを使って考えます。
・直線
直線の方向ベクトルを
，起点ベクトル(直線上の1点を指定するベクトル)を
，また、t を実数として、直線上の点の位置ベクトル
は、 と表されます。
・2直線の平行
方向ベクトルが等しい2直線l，mが異なる直線のとき、lとmは平行(l // m)です。 ･･･(＊)
・2直線の垂直
2直線をl：
，m：
とし、その方向ベクトル
，
について、
，つまり、
のとき、lとmは垂直(
)です。
・平面平面は、方向ベクトルを2つ持つように考えます。2つの1次独立なベクトルを
，
，起点ベクトル(平面上の1点を指定するベクトル)を
，また、s，tを実数として、平面上の点の位置ベクトル
は、 と表されます。この平面をπ(円周率ではありません)とします。
・平面と平行な直線
を方向ベクトルとする直線l：
(
：実数)，
を方向ベクトルとする直線m：
(
：実数)は、πと平行(l // π，m // π)です。一般的に、
，
を実数の定数として、
を方向ベクトルとする直線n：
(
：実数)は、πと平行(n // π)です。但し、l，m，nは平面π上の直線ではない、とします。・2平面の平行
q，rを実数として、平面πと共通のベクトル
，
を用いて、 α：
のように表される平面αが平面πと異なる平面であるとき、αとπは平行(α // π)です。
・平面と垂直な直線
，
となるベクトル
(例えば、
，×は外積)を方向ベクトルとする直線l：
(
：実数)は、πと垂直(
)です。・2平面の垂直
と表される平面βはπと垂直(
)です。
(1) 2直線の位置関係l：
(
：実数) ･･･①m：
(
：実数) ･･･② (a) 2直線が交わる
であり、①，②を連立すると、解
，
を持ちます。そのときの
が交点の位置ベクトルです。(b) 2直線が平行(l // m)
上記(＊)により、
です。①，②を連立しても、
，
の解は存在しません。 (c) ねじれの位置にある
(2) 2平面の位置関係(a) 2平面が平行(α // π)
2平面に共有点はありません。
(b) 2平面が交わる
(3) 直線と平面の位置関係(a) 平面が直線を含む
直線の方向ベクトルを
，t を実数として、 l：
とすると、
と1次独立なベクトルを
として、直線lを含む平面は、 π：
･･･③ と表されます。
のときlと一致します。 (b) 直線と平面が平行
直線が、方向ベクトルを
，tを実数として、 l：
･･･④ とすると、
と1次独立なベクトルを
，また、
とは異なるベクトルを
，sを実数として、直線lと平行な平面は、 π：
･･･⑤ と表され、④と⑤を連立したとき、s，t の解はありません。
(c) 直線が平面と1点で交わる。
l：
･･･⑥π：
･･･⑦ ⑥，⑦を連立すると、s，t はただ1組の解をもち、そのときの
が交点の位置ベクトルになります。
l がπ上の任意の異なる2直線m，nに対して、
かつ
となるとき、
です。逆に、
であれば、π上の任意の異なる直線mに対して
となります。
(4) 三垂線の定理：平面π上の直線lと点Oについて、Oがl上にないとき、(i) 
かつ
ならば、
(ii) 
かつ
ならば、
(iii) 
かつ
かつ
ならば、
[証明] 
，l：
(t：実数)，③より、lを含む平面π：
(s：実数) ･･･⑧，
とします。 
∴ 
∴ 
より、
点Oは平面π上の点なので、⑧で
として、
との内積をとると、
∴ 
よって、
より、
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を含む平面、即ち、
と1次独立なベクトルを
として、
(
，
：実数)
ですが、①，②を連立しても、
，
の解は存在せず、2直線に交点は存在しません。
ねじれの位置にある2直線のなす角は、右図のように、片方の直線mを他方の直線lと交わるところまで平行移動させて、2直線のなす角θをl，mのなす角とします。
2平面α，π上の交線上にない点A，Pから、交線上の点Oにそれぞれ垂線AO，POを下ろすと、垂線同士のなす角
が2平面α，πのなす角になります。
のとき、
となります。
より、
，即ち、
，また、
より、
より、
，
より、
より
，
より
，
より